Theorem rmo4 2734

Description: Restricted "at most one" using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
rmo4.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rmo4	|- ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem rmo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 2314	. 2 |- ( E* x e. A ph <-> E* x ( x e. A /\ ph ) )
2		an4 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
3		ancom 253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> ( y e. A /\ x e. A ) )
4	3	anbi1i 431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
5	2, 4	bitri 173	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
6	5	imbi1i 227	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) -> x = y ) )
7		impexp 250	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
8		impexp 250	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
9	6, 7, 8	3bitri 195	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
10	9	albii 1359	. . . . 5 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
11		df-ral 2311	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
12		r19.21v 2396	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
13	10, 11, 12	3bitr2i 197	. . . 4 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
14	13	albii 1359	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
15		eleq1 2100	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
16		rmo4.1	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
17	15, 16	anbi12d 442	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ ps ) ) )
18	17	mo4 1961	. . 3 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) )
19		df-ral 2311	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
20	14, 18, 19	3bitr4i 201	. 2 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) )
21	1, 20	bitri 173	1 |- ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   e. wcel 1393   E*wmo 1901   A.wral 2306   E*wrmo 2309

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-ral 2311  df-rmo 2314

This theorem is referenced by:  reu4  2735  lteupri  6715  elrealeu  6906  rereceu  6963  qbtwnz  9106  rsqrmo  9625