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Theorem qbtwnz 9106
Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a rational number. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnz  |-  ( A  e.  QQ  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem qbtwnz
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qbtwnzlemex 9105 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )
2 simplrl 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
32zred 8360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
4 qre 8560 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
54ad2antrr 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
6 simplrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
76zred 8360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
8 1red 7042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
97, 8readdcld 7055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
10 simprll 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  A )
11 simprrr 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  <  ( y  +  1 ) )
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 7139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( y  +  1 ) )
13 zleltp1 8299 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  y  <->  x  <  ( y  +  1 ) ) )
142, 6, 13syl2anc 391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  <_  y  <->  x  <  ( y  +  1 ) ) )
1512, 14mpbird 156 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  y )
163, 8readdcld 7055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
17 simprrl 491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <_  A )
18 simprlr 490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  <  ( x  +  1 ) )
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 7139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) )
20 zleltp1 8299 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  x  <->  y  <  ( x  + 
1 ) ) )
216, 2, 20syl2anc 391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  <_  x  <->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
2219, 21mpbird 156 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <_  x )
233, 7letri3d 7133 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
2415, 22, 23mpbir2and 851 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  =  y )
2524ex 108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  (
y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
2625ralrimivva 2401 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
27 breq1 3767 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  A  <->  y  <_  A ) )
28 oveq1 5519 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
2928breq2d 3776 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( y  +  1 ) ) )
3027, 29anbi12d 442 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )
3130rmo4 2734 . . 3  |-  ( E* x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  <->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
3226, 31sylibr 137 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  E* x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
33 reu5 2522 . 2  |-  ( E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  E* x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
341, 32, 33sylanbrc 394 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   E!wreu 2308   E*wrmo 2309   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   RRcr 6888   1c1 6890    + caddc 6892    < clt 7060    <_ cle 7061   ZZcz 8245   QQcq 8554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-q 8555  df-rp 8584
This theorem is referenced by:  flqcl  9117  flqlelt  9118  flqbi  9132
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