ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opeq2 Structured version   Unicode version

Theorem opeq2 3541
Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
opeq2  <. C ,  >.  <. C ,  >.

Proof of Theorem opeq2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2097 . . . . . 6  _V  _V
21anbi2d 437 . . . . 5  C  _V  _V  C  _V  _V
3 eqidd 2038 . . . . . . 7  { C }  { C }
4 preq2 3439 . . . . . . 7  { C ,  }  { C ,  }
53, 4preq12d 3446 . . . . . 6  { { C } ,  { C ,  } }  { { C } ,  { C ,  } }
65eleq2d 2104 . . . . 5  { { C } ,  { C ,  } } 
{ { C } ,  { C ,  } }
72, 6anbi12d 442 . . . 4  C  _V  _V  { { C } ,  { C ,  } }  C 
_V  _V  { { C } ,  { C ,  } }
8 df-3an 886 . . . 4  C  _V  _V  { { C } ,  { C ,  } }  C  _V  _V  { { C } ,  { C ,  } }
9 df-3an 886 . . . 4  C  _V  _V  { { C } ,  { C ,  } }  C  _V  _V  { { C } ,  { C ,  } }
107, 8, 93bitr4g 212 . . 3  C  _V  _V  { { C } ,  { C ,  } }  C  _V  _V  { { C } ,  { C ,  } }
1110abbidv 2152 . 2  {  |  C  _V  _V  { { C } ,  { C ,  } } }  {  |  C  _V  _V 
{ { C } ,  { C ,  } } }
12 df-op 3376 . 2  <. C ,  >.  {  |  C  _V  _V  { { C } ,  { C ,  } } }
13 df-op 3376 . 2  <. C ,  >.  {  |  C  _V  _V  { { C } ,  { C ,  } } }
1411, 12, 133eqtr4g 2094 1  <. C ,  >.  <. C ,  >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023   _Vcvv 2551   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376
This theorem is referenced by:  opeq12  3542  opeq2i  3544  opeq2d  3547  oteq2  3550  oteq3  3551  breq2  3759  cbvopab2  3822  cbvopab2v  3825  opthg  3966  eqvinop  3971  opelopabsb  3988  opelxp  4317  opabid2  4410  elrn2g  4468  opeldm  4481  opeldmg  4483  elrn2  4519  opelresg  4562  iss  4597  elimasng  4636  issref  4650  dmsnopg  4735  cnvsng  4749  elxp4  4751  elxp5  4752  dffun5r  4857  funopg  4877  f1osng  5110  tz6.12f  5145  fsn  5278  fsng  5279  fvsng  5302  oveq2  5463  cbvoprab2  5519  ovg  5581  opabex3d  5690  opabex3  5691  op1stg  5719  op2ndg  5720  op1steq  5747  dfoprab4f  5761  tfrlemibxssdm  5882  xpsnen  6231  xpassen  6240  elreal  6687  ax1rid  6721  fseq1p1m1  8686
  Copyright terms: Public domain W3C validator