ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axarch Unicode version

Theorem axarch 6773
Description: Archimedean axiom. The Archimedean property is more naturally stated once we have defined  NN. Unless we find another way to state it, we'll just use the right hand side of dfnn2 7697 in stating what we mean by "natural number" in the context of this axiom.

This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-arch 6802. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axarch  RR  n  |^| {  |  1  +  1  }  <RR  n
Distinct variable group:   , n,,

Proof of Theorem axarch
Dummy variables  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6727 . . 3  RR  R.  <. ,  0R >.
21biimpi 113 . 2  RR  R.  <. ,  0R >.
3 archsr 6708 . . . 4  R.  N.  <R  <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R
43ad2antrl 459 . . 3  RR  R. 
<. ,  0R >.  N.  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R
5 simplrr 488 . . . . 5  RR  R. 
<. ,  0R >.  N.  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  <. ,  0R >.
6 simprr 484 . . . . . 6  RR  R. 
<. ,  0R >.  N.  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R
7 ltresr 6736 . . . . . 6  <. ,  0R >.  <RR  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R
86, 7sylibr 137 . . . . 5  RR  R. 
<. ,  0R >.  N.  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  <. ,  0R >. 
<RR  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
95, 8eqbrtrrd 3777 . . . 4  RR  R. 
<. ,  0R >.  N.  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  <RR  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
10 pitonn 6744 . . . . . 6  N.  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  |^| {  |  1  +  1  }
1110ad2antrl 459 . . . . 5  RR  R. 
<. ,  0R >.  N.  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  |^| {  |  1  +  1  }
12 simpr 103 . . . . . 6  RR 
R.  <. ,  0R >.  N.  <R  <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  n  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  n 
<. <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
1312breq2d 3767 . . . . 5  RR 
R.  <. ,  0R >.  N.  <R  <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  n  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >. 
<RR  n  <RR  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
1411, 13rspcedv 2654 . . . 4  RR  R. 
<. ,  0R >.  N.  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  <RR  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  n 
|^| {  |  1  +  1  }  <RR  n
159, 14mpd 13 . . 3  RR  R. 
<. ,  0R >.  N.  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  n  |^| {  |  1  +  1  }  <RR  n
164, 15rexlimddv 2431 . 2  RR  R. 
<. ,  0R >.  n  |^| {  |  1  +  1  }  <RR  n
172, 16rexlimddv 2431 1  RR  n  |^| {  |  1  +  1  }  <RR  n
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   <.cop 3370   |^|cint 3606   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   1oc1o 5933  cec 6040   N.cnpi 6256    ~Q ceq 6263    <Q cltq 6269   1Pc1p 6276    +P. cpp 6277    ~R cer 6280   R.cnr 6281   0Rc0r 6282    <R cltr 6287   RRcr 6710   1c1 6712    + caddc 6714    <RR cltrr 6715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-c 6717  df-1 6719  df-r 6721  df-add 6722  df-lt 6724
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator