Theorem elxp2 4363

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 23-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elxp2	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2312	. . . 4 |- ( E. y e. C ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) <-> E. y ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) )
2		r19.42v 2467	. . . 4 |- ( E. y e. C ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) <-> ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) )
3		an13 497	. . . . 5 |- ( ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
4	3	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. y ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) <-> E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
5	1, 2, 4	3bitr3i 199	. . 3 |- ( ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) <-> E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
6	5	exbii 1496	. 2 |- ( E. x ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
7		df-rex 2312	. 2 |- ( E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. <-> E. x ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) )
8		elxp 4362	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
9	6, 7, 8	3bitr4ri 202	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. )

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   E.wrex 2307   <.cop 3378   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351

This theorem is referenced by:  opelxp  4374  xpiundi  4398  xpiundir  4399  ssrel2  4430  f1o2ndf1  5849  xpdom2  6305  elreal  6905