Theorem axpre-ltadd 6750

Description: Ordering property of addition on reals. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 6779. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltadd	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <RR B -> ( C + A) <RR ( C + B)))

Proof of Theorem axpre-ltadd

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 6707	. . 3 |- (A e. RR <-> E.x e. R. <.x , 0R >. = A)
2		elreal 6707	. . 3 |- (B e. RR <-> E.y e. R. <.y , 0R >. = B)
3		elreal 6707	. . 3 |- ( C e. RR <-> E.z e. R. <.z , 0R >. = C)
4		breq1 3758	. . . 4 |- ( <.x , 0R >. = A -> ( <.x , 0R >. <RR <.y , 0R >. <-> A <RR <.y , 0R >.))
5		oveq2 5463	. . . . 5 |- ( <.x , 0R >. = A -> ( <.z , 0R >. + <.x , 0R >.) = ( <.z , 0R >. + A))
6	5	breq1d 3765	. . . 4 |- ( <.x , 0R >. = A -> (( <.z , 0R >. + <.x , 0R >.) <RR ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.) <-> ( <.z , 0R >. + A) <RR ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.)))
7	4, 6	bibi12d 224	. . 3 |- ( <.x , 0R >. = A -> (( <.x , 0R >. <RR <.y , 0R >. <-> ( <.z , 0R >. + <.x , 0R >.) <RR ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.)) <-> (A <RR <.y , 0R >. <-> ( <.z , 0R >. + A) <RR ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.))))
8		breq2 3759	. . . 4 |- ( <.y , 0R >. = B -> (A <RR <.y , 0R >. <-> A <RR B))
9		oveq2 5463	. . . . 5 |- ( <.y , 0R >. = B -> ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.) = ( <.z , 0R >. + B))
10	9	breq2d 3767	. . . 4 |- ( <.y , 0R >. = B -> (( <.z , 0R >. + A) <RR ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.) <-> ( <.z , 0R >. + A) <RR ( <.z , 0R >. + B)))
11	8, 10	bibi12d 224	. . 3 |- ( <.y , 0R >. = B -> ((A <RR <.y , 0R >. <-> ( <.z , 0R >. + A) <RR ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.)) <-> (A <RR B <-> ( <.z , 0R >. + A) <RR ( <.z , 0R >. + B))))
12		oveq1 5462	. . . . 5 |- ( <.z , 0R >. = C -> ( <.z , 0R >. + A) = ( C + A))
13		oveq1 5462	. . . . 5 |- ( <.z , 0R >. = C -> ( <.z , 0R >. + B) = ( C + B))
14	12, 13	breq12d 3768	. . . 4 |- ( <.z , 0R >. = C -> (( <.z , 0R >. + A) <RR ( <.z , 0R >. + B) <-> ( C + A) <RR ( C + B)))
15	14	bibi2d 221	. . 3 |- ( <.z , 0R >. = C -> ((A <RR B <-> ( <.z , 0R >. + A) <RR ( <.z , 0R >. + B)) <-> (A <RR B <-> ( C + A) <RR ( C + B))))
16		ltasrg 6678	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R.) -> (x <R y <-> (z +R x) <R (z +R y)))
17		ltresr 6716	. . . . 5 |- ( <.x , 0R >. <RR <.y , 0R >. <-> x <R y)
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R.) -> ( <.x , 0R >. <RR <.y , 0R >. <-> x <R y))
19		simp3 905	. . . . . 6 |- ((x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R.) -> z e. R.)
20		simp1 903	. . . . . 6 |- ((x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R.) -> x e. R.)
21		simp2 904	. . . . . 6 |- ((x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R.) -> y e. R.)
22		addresr 6714	. . . . . . 7 |- ((z e. R. /\ x e. R.) -> ( <.z , 0R >. + <.x , 0R >.) = <.(z +R x) , 0R >.)
23		addresr 6714	. . . . . . 7 |- ((z e. R. /\ y e. R.) -> ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.) = <.(z +R y) , 0R >.)
24	22, 23	breqan12d 3770	. . . . . 6 |- (((z e. R. /\ x e. R.) /\ (z e. R. /\ y e. R.)) -> (( <.z , 0R >. + <.x , 0R >.) <RR ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.) <-> <.(z +R x) , 0R >. <RR <.(z +R y) , 0R >.))
25	19, 20, 19, 21, 24	syl22anc 1135	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R.) -> (( <.z , 0R >. + <.x , 0R >.) <RR ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.) <-> <.(z +R x) , 0R >. <RR <.(z +R y) , 0R >.))
26		ltresr 6716	. . . . 5 |- ( <.(z +R x) , 0R >. <RR <.(z +R y) , 0R >. <-> (z +R x) <R (z +R y))
27	25, 26	syl6bb 185	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R.) -> (( <.z , 0R >. + <.x , 0R >.) <RR ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.) <-> (z +R x) <R (z +R y)))
28	16, 18, 27	3bitr4d 209	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R.) -> ( <.x , 0R >. <RR <.y , 0R >. <-> ( <.z , 0R >. + <.x , 0R >.) <RR ( <.z , 0R >. + <.y , 0R >.)))
29	1, 2, 3, 7, 11, 15, 28	3gencl 2582	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <RR B <-> ( C + A) <RR ( C + B)))
30	29	biimpd 132	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <RR B -> ( C + A) <RR ( C + B)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   <.cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   R.cnr 6281   0Rc0r 6282   +R cplr 6285   <R cltr 6287   RRcr 6690   + caddc 6694   <RR cltrr 6695

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-plr 6636  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-c 6697  df-r 6701  df-add 6702  df-lt 6704

This theorem is referenced by: (None)