ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltadd Unicode version

Theorem axpre-ltadd 6932
Description: Ordering property of addition on reals. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 6972. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltadd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  ->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B
) ) )

Proof of Theorem axpre-ltadd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6877 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 6877 . . 3  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 elreal 6877 . . 3  |-  ( C  e.  RR  <->  E. z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  C )
4 breq1 3764 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
5 oveq2 5498 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  =  ( <. z ,  0R >.  +  A
) )
65breq1d 3771 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  ( <. z ,  0R >.  +  A
)  <RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. ) ) )
74, 6bibi12d 224 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. ) ) ) )
8 breq2 3765 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
9 oveq2 5498 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  ( <. z ,  0R >.  +  B
) )
109breq2d 3773 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. )  <-> 
( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  (
<. z ,  0R >.  +  B ) ) )
118, 10bibi12d 224 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  <-> 
( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  (
<. z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR  B  <-> 
( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  (
<. z ,  0R >.  +  B ) ) ) )
12 oveq1 5497 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( <. z ,  0R >.  +  A
)  =  ( C  +  A ) )
13 oveq1 5497 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( <. z ,  0R >.  +  B
)  =  ( C  +  B ) )
1412, 13breq12d 3774 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  +  B )  <->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B ) ) )
1514bibi2d 221 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  <RR  B  <->  ( <. z ,  0R >.  +  A
)  <RR  ( <. z ,  0R >.  +  B
) )  <->  ( A  <RR  B  <->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B ) ) ) )
16 ltasrg 6827 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
x  <R  y  <->  ( z  +R  x )  <R  (
z  +R  y ) ) )
17 ltresr 6887 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
1817a1i 9 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y ) )
19 simp3 906 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  z  e.  R. )
20 simp1 904 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  x  e.  R. )
21 simp2 905 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  y  e.  R. )
22 addresr 6885 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  =  <. (
z  +R  x ) ,  0R >. )
23 addresr 6885 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  <. (
z  +R  y ) ,  0R >. )
2422, 23breqan12d 3776 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  x  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  <. ( z  +R  x ) ,  0R >. 
<RR  <. ( z  +R  y ) ,  0R >. ) )
2519, 20, 19, 21, 24syl22anc 1136 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  <RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  <. ( z  +R  x ) ,  0R >.  <RR  <. (
z  +R  y ) ,  0R >. )
)
26 ltresr 6887 . . . . 5  |-  ( <.
( z  +R  x
) ,  0R >.  <RR  <. ( z  +R  y
) ,  0R >.  <->  (
z  +R  x ) 
<R  ( z  +R  y
) )
2725, 26syl6bb 185 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  <RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  ( z  +R  x )  <R  (
z  +R  y ) ) )
2816, 18, 273bitr4d 209 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. ) ) )
291, 2, 3, 7, 11, 15, 283gencl 2585 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B ) ) )
3029biimpd 132 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  ->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393   <.cop 3375   class class class wbr 3761  (class class class)co 5490   R.cnr 6367   0Rc0r 6368    +R cplr 6371    <R cltr 6373   RRcr 6860    + caddc 6864    <RR cltrr 6865
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4157  ax-setind 4247  ax-iinf 4289
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4090  df-on 4092  df-suc 4095  df-iom 4292  df-xp 4329  df-rel 4330  df-cnv 4331  df-co 4332  df-dm 4333  df-rn 4334  df-res 4335  df-ima 4336  df-iota 4845  df-fun 4882  df-fn 4883  df-f 4884  df-f1 4885  df-fo 4886  df-f1o 4887  df-fv 4888  df-ov 5493  df-oprab 5494  df-mpt2 5495  df-1st 5745  df-2nd 5746  df-recs 5898  df-irdg 5935  df-1o 5979  df-2o 5980  df-oadd 5983  df-omul 5984  df-er 6084  df-ec 6086  df-qs 6090  df-ni 6374  df-pli 6375  df-mi 6376  df-lti 6377  df-plpq 6414  df-mpq 6415  df-enq 6417  df-nqqs 6418  df-plqqs 6419  df-mqqs 6420  df-1nqqs 6421  df-rq 6422  df-ltnqqs 6423  df-enq0 6494  df-nq0 6495  df-0nq0 6496  df-plq0 6497  df-mq0 6498  df-inp 6536  df-i1p 6537  df-iplp 6538  df-iltp 6540  df-enr 6783  df-nr 6784  df-plr 6785  df-ltr 6787  df-0r 6788  df-c 6867  df-r 6871  df-add 6872  df-lt 6874
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator