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Theorem axcaucvglemres 6973
Description: Lemma for axcaucvg 6974. Mapping the limit from N. and R.. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
axcaucvg.f |- ( ph -> F : N --> RR )
axcaucvg.cau |- ( ph -> A. n e. N A. k e. N ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
axcaucvg.g |- G = ( j e. N. |-> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) )
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemres |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   k, F, j, n   y, F, j, k   z, F, j   k, G, x, l, u   n, G, l, u, z   k, N, j, n   y, N, x   ph, k, x   j, l, u, y   ph, j, x   k, r, l, n, u   z, l, u   ph, n   x, y   j, n, z, k   x, l, u
Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, r, l)   F( x, u, r, l)   G( y, j, r)   N( z, u, r, l)
Proof of Theorem axcaucvglemres
Dummy variables b e f g a c d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.n . . . 4 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2 axcaucvg.f . . . 4 |- ( ph -> F : N --> RR )
3 axcaucvg.cau . . . 4 |- ( ph -> A. n e. N A. k e. N ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
4 axcaucvg.g . . . 4 |- G = ( j e. N. |-> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) )
51, 2, 3, 4axcaucvglemf 6970 . . 3 |- ( ph -> G : N. --> R. )
61, 2, 3, 4axcaucvglemcau 6972 . . 3 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( G ` n ) <R ( ( G ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( G ` k ) <R ( ( G ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
75, 6caucvgsr 6886 . 2 |- ( ph -> E. b e. R. A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
8 opelreal 6904 . . . . 5 |- ( <. b , 0R >. e. RR <-> b e. R. )
98biimpri 124 . . . 4 |- ( b e. R. -> <. b , 0R >. e. RR )
109ad2antrl 459 . . 3 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) ) -> <. b , 0R >. e. RR )
11 breq2 3768 . . . . . . . . . 10 |- ( d = k -> ( c <N d <-> c <N k ) )
12 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d = k -> ( G ` d ) = ( G ` k ) )
1312breq1d 3774 . . . . . . . . . . 11 |- ( d = k -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) <-> ( G ` k ) <R ( b +R a ) ) )
1412oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d = k -> ( ( G ` d ) +R a ) = ( ( G ` k ) +R a ) )
1514breq2d 3776 . . . . . . . . . . 11 |- ( d = k -> ( b <R ( ( G ` d ) +R a ) <-> b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) )
1613, 15anbi12d 442 . . . . . . . . . 10 |- ( d = k -> ( ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) <-> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) )
1711, 16imbi12d 223 . . . . . . . . 9 |- ( d = k -> ( ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
1817cbvralv 2533 . . . . . . . 8 |- ( A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) )
1918rexbii 2331 . . . . . . 7 |- ( E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) )
2019imbi2i 215 . . . . . 6 |- ( ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) <-> ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
2120ralbii 2330 . . . . 5 |- ( A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) <-> A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
2221anbi2i 430 . . . 4 |- ( ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) <-> ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) )
23 elreal 6905 . . . . . . . . 9 |- ( x e. RR <-> E. e e. R. <. e , 0R >. = x )
2423biimpi 113 . . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> E. e e. R. <. e , 0R >. = x )
2524ad2antlr 458 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) -> E. e e. R. <. e , 0R >. = x )
26 simplrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) -> A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) )
2726ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) )
28 simprr 484 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> <. e , 0R >. = x )
29 simplr 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> 0 <RR x )
30 df-0 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 = <. 0R , 0R >.
3130breq1i 3771 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 <RR <. e , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. e , 0R >. )
32 ltresr 6915 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. e , 0R >. <-> 0R <R e )
3331, 32bitri 173 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 <RR <. e , 0R >. <-> 0R <R e )
34 breq2 3768 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. e , 0R >. = x -> ( 0 <RR <. e , 0R >. <-> 0 <RR x ) )
3533, 34syl5rbbr 184 . . . . . . . . . . . 12 |- ( <. e , 0R >. = x -> ( 0 <RR x <-> 0R <R e ) )
3635biimpa 280 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. e , 0R >. = x /\ 0 <RR x ) -> 0R <R e )
3728, 29, 36syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> 0R <R e )
38 breq2 3768 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = e -> ( 0R <R a <-> 0R <R e ) )
39 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = e -> ( b +R a ) = ( b +R e ) )
4039breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = e -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) <-> ( G ` d ) <R ( b +R e ) ) )
41 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = e -> ( ( G ` d ) +R a ) = ( ( G ` d ) +R e ) )
4241breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = e -> ( b <R ( ( G ` d ) +R a ) <-> b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) )
4340, 42anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = e -> ( ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) <-> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
4443imbi2d 219 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = e -> ( ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
4544rexralbidv 2350 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = e -> ( E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
4638, 45imbi12d 223 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = e -> ( ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) <-> ( 0R <R e -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) )
4746rspcv 2652 . . . . . . . . . . 11 |- ( e e. R. -> ( A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) -> ( 0R <R e -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) )
4847ad2antrl 459 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> ( A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) -> ( 0R <R e -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) )
4927, 37, 48mp2d 41 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
50 breq1 3767 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c = f -> ( c <N d <-> f <N d ) )
5150imbi1d 220 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = f -> ( ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
5251ralbidv 2326 . . . . . . . . . 10 |- ( c = f -> ( A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
5352cbvrexv 2534 . . . . . . . . 9 |- ( E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> E. f e. N. A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
5449, 53sylib 127 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> E. f e. N. A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
55 pitonn 6924 . . . . . . . . . . 11 |- ( f e. N. -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
5655, 1syl6eleqr 2131 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. N. -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. N )
5756ad2antrl 459 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. N )
581nntopi 6968 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. N -> E. g e. N. <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k )
5958adantl 262 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> E. g e. N. <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k )
60 simprl 483 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> g e. N. )
61 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
6261adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
63 breq2 3768 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = g -> ( f <N d <-> f <N g ) )
64 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = g -> ( G ` d ) = ( G ` g ) )
6564breq1d 3774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = g -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) <-> ( G ` g ) <R ( b +R e ) ) )
6664oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = g -> ( ( G ` d ) +R e ) = ( ( G ` g ) +R e ) )
6766breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = g -> ( b <R ( ( G ` d ) +R e ) <-> b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) )
6865, 67anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = g -> ( ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) <-> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) ) )
6963, 68imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = g -> ( ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> ( f <N g -> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) ) ) )
7069rspcv 2652 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. N. -> ( A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) -> ( f <N g -> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) ) ) )
7160, 62, 70sylc 56 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( f <N g -> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) ) )
72 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> f e. N. )
7372adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> f e. N. )
74 ltrennb 6930 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f <N g <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )
7573, 60, 74syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( f <N g <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )
76 simprr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k )
7776breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k ) )
7875, 77bitrd 177 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( f <N g <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k ) )
79 ltresr 6915 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( G ` g ) , 0R >. <RR <. ( b +R e ) , 0R >. <-> ( G ` g ) <R ( b +R e ) )
80 simplll 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) -> ph )
8180ad4antr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ph )
821, 2, 3, 4axcaucvglemval 6971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ g e. N. ) -> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. ( G ` g ) , 0R >. )
8381, 60, 82syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. ( G ` g ) , 0R >. )
8476fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = ( F ` k ) )
8583, 84eqtr3d 2074 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. ( G ` g ) , 0R >. = ( F ` k ) )
86 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) -> b e. R. )
8786ad5antr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> b e. R. )
88 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> e e. R. )
8988ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> e e. R. )
90 addresr 6913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. R. /\ e e. R. ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( b +R e ) , 0R >. )
9187, 89, 90syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( b +R e ) , 0R >. )
9228oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = ( <. b , 0R >. + x ) )
9392ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = ( <. b , 0R >. + x ) )
9491, 93eqtr3d 2074 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. ( b +R e ) , 0R >. = ( <. b , 0R >. + x ) )
9585, 94breq12d 3777 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. <RR <. ( b +R e ) , 0R >. <-> ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) ) )
9679, 95syl5bbr 183 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) <-> ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) ) )
97 ltresr 6915 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. b , 0R >. <RR <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. <-> b <R ( ( G ` g ) +R e ) )
9881, 5syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> G : N. --> R. )
9998, 60ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( G ` g ) e. R. )
100 addresr 6913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G ` g ) e. R. /\ e e. R. ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. )
10199, 89, 100syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. )
10228ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. e , 0R >. = x )
10385, 102oveq12d 5530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. + <. e , 0R >. ) = ( ( F ` k ) + x ) )
104101, 103eqtr3d 2074 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. = ( ( F ` k ) + x ) )
105104breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. b , 0R >. <RR <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. <-> <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
10697, 105syl5bbr 183 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( b <R ( ( G ` g ) +R e ) <-> <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
10796, 106anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) <-> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
10871, 78, 1073imtr3d 191 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
10959, 108rexlimddv 2437 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
110109ralrimiva 2392 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> A. k e. N ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
111 breq1 3767 . . . . . . . . . . . 12 |- ( j = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. -> ( j <RR k <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k ) )
112111imbi1d 220 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. -> ( ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
113112ralbidv 2326 . . . . . . . . . 10 |- ( j = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. -> ( A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. k e. N ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
114113rspcev 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. N /\ A. k e. N ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
11557, 110, 114syl2anc 391 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
11654, 115rexlimddv 2437 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
11725, 116rexlimddv 2437 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
118117ex 108 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
119118ralrimiva 2392 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) -> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
12022, 119sylan2br 272 . . 3 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) ) -> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
121 oveq1 5519 . . . . . . . . . 10 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( y + x ) = ( <. b , 0R >. + x ) )
122121breq2d 3776 . . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) <-> ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) ) )
123 breq1 3767 . . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( y <RR ( ( F ` k ) + x ) <-> <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
124122, 123anbi12d 442 . . . . . . . 8 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
125124imbi2d 219 . . . . . . 7 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
126125rexralbidv 2350 . . . . . 6 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
127126imbi2d 219 . . . . 5 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) )
128127ralbidv 2326 . . . 4 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) )
129128rspcev 2656 . . 3 |- ( ( <. b , 0R >. e. RR /\ A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
13010, 120, 129syl2anc 391 . 2 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
1317, 130rexlimddv 2437 1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   E.wrex 2307   <.cop 3378   |^|cint 3615   class class class wbr 3764   |-> cmpt 3818   -->wf 4898   ` cfv 4902   iota_crio 5467  (class class class)co 5512   1oc1o 5994   [cec 6104   N.cnpi 6370   <N clti 6373   ~Q ceq 6377   <Q cltq 6383   1Pc1p 6390   +P. cpp 6391   ~R cer 6394   R.cnr 6395   0Rc0r 6396   +R cplr 6399   <R cltr 6401   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   <RR cltrr 6893   x. cmul 6894
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-imp 6567  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-plr 6813  df-mr 6814  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-m1r 6818  df-c 6895  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-add 6900  df-mul 6901  df-lt 6902
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