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Theorem axcaucvglemres 6954
Description: Lemma for axcaucvg 6955. Mapping the limit from  N. and  R.. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
axcaucvg.f  |-  ( ph  ->  F : N --> RR )
axcaucvg.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N  A. k  e.  N  ( n  <RR  k  -> 
( ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
axcaucvg.g  |-  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemres  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F, j, n    y, F, j, k    z, F, j   
k, G, x, l, u    n, G, l, u, z    k, N, j, n    y, N, x    ph, k, x    j,
l, u, y    ph, j, x    k, r, l, n, u    z, l, u    ph, n    x, y    j, n, z, k    x, l, u
Allowed substitution hints:    ph( y, z, u, r, l)    F( x, u, r, l)    G( y, j, r)    N( z, u, r, l)

Proof of Theorem axcaucvglemres
Dummy variables  b  e  f  g  a  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.n . . . 4  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
2 axcaucvg.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : N --> RR )
3 axcaucvg.cau . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N  A. k  e.  N  ( n  <RR  k  -> 
( ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
4 axcaucvg.g . . . 4  |-  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
51, 2, 3, 4axcaucvglemf 6951 . . 3  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
61, 2, 3, 4axcaucvglemcau 6953 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( G `  n
)  <R  ( ( G `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( G `  k )  <R  (
( G `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
75, 6caucvgsr 6867 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  R.  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( c  <N 
k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) ) )
8 opelreal 6885 . . . . 5  |-  ( <.
b ,  0R >.  e.  RR  <->  b  e.  R. )
98biimpri 124 . . . 4  |-  ( b  e.  R.  ->  <. b ,  0R >.  e.  RR )
109ad2antrl 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  <. b ,  0R >.  e.  RR )
11 breq2 3765 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  k  ->  (
c  <N  d  <->  c  <N  k ) )
12 fveq2 5165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  k  ->  ( G `  d )  =  ( G `  k ) )
1312breq1d 3771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  k  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  <->  ( G `  k )  <R  (
b  +R  a ) ) )
1412oveq1d 5514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  k  ->  (
( G `  d
)  +R  a )  =  ( ( G `
 k )  +R  a ) )
1514breq2d 3773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  k  ->  (
b  <R  ( ( G `
 d )  +R  a )  <->  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) )
1613, 15anbi12d 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  k  ->  (
( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) )  <->  ( ( G `
 k )  <R 
( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) )
1711, 16imbi12d 223 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  k  ->  (
( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) ) )  <->  ( c  <N  k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) ) )
1817cbvralv 2530 . . . . . . . 8  |-  ( A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) )  <->  A. k  e.  N.  ( c  <N 
k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) )
1918rexbii 2328 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) )  <->  E. c  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( c  <N 
k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) )
2019imbi2i 215 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  <-> 
( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) )
2120ralbii 2327 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) )  <->  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) )
2221anbi2i 430 . . . 4  |-  ( ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) )  <-> 
( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )
23 elreal 6886 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  <->  E. e  e.  R.  <. e ,  0R >.  =  x )
2423biimpi 113 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  E. e  e.  R.  <. e ,  0R >.  =  x )
2524ad2antlr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  ->  E. e  e.  R.  <. e ,  0R >.  =  x )
26 simplrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) )
2726ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) )
28 simprr 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  <. e ,  0R >.  =  x )
29 simplr 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  -> 
0  <RR  x )
30 df-0 6877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
3130breq1i 3768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 
<RR  <. e ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. e ,  0R >. )
32 ltresr 6896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. e ,  0R >.  <->  0R  <R  e )
3331, 32bitri 173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 
<RR  <. e ,  0R >.  <-> 
0R  <R  e )
34 breq2 3765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
e ,  0R >.  =  x  ->  ( 0 
<RR  <. e ,  0R >.  <->  0  <RR  x ) )
3533, 34syl5rbbr 184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
e ,  0R >.  =  x  ->  ( 0 
<RR  x  <->  0R  <R  e ) )
3635biimpa 280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. e ,  0R >.  =  x  /\  0  <RR  x )  ->  0R  <R  e )
3728, 29, 36syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  0R  <R  e )
38 breq2 3765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  e  ->  ( 0R  <R  a  <->  0R  <R  e ) )
39 oveq2 5507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  e  ->  (
b  +R  a )  =  ( b  +R  e ) )
4039breq2d 3773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  e  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  <->  ( G `  d )  <R  (
b  +R  e ) ) )
41 oveq2 5507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  e  ->  (
( G `  d
)  +R  a )  =  ( ( G `
 d )  +R  e ) )
4241breq2d 3773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  e  ->  (
b  <R  ( ( G `
 d )  +R  a )  <->  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) )
4340, 42anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) )  <->  ( ( G `
 d )  <R 
( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
4443imbi2d 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  e  ->  (
( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) ) )  <->  ( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
4544rexralbidv 2347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  e  ->  ( E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) )  <->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
4638, 45imbi12d 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  e  ->  (
( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  <-> 
( 0R  <R  e  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) ) ) )
4746rspcv 2649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  R.  ->  ( A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  ->  ( 0R  <R  e  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) ) ) )
4847ad2antrl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  -> 
( A. a  e. 
R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  ->  ( 0R  <R  e  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) ) ) )
4927, 37, 48mp2d 41 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) )
50 breq1 3764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  f  ->  (
c  <N  d  <->  f  <N  d ) )
5150imbi1d 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  f  ->  (
( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) )  <->  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
5251ralbidv 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  f  ->  ( A. d  e.  N.  ( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) )  <->  A. d  e.  N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
5352cbvrexv 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) )  <->  E. f  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
5449, 53sylib 127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  E. f  e.  N.  A. d  e.  N.  (
f  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) )
55 pitonn 6905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  N.  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
5655, 1syl6eleqr 2131 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  N.  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N )
5756ad2antrl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N )
581nntopi 6949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  N  ->  E. g  e.  N.  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k )
5958adantl 262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  E. g  e.  N.  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k )
60 simprl 483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  g  e.  N. )
61 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  A. d  e.  N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
6261adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  A. d  e.  N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
63 breq2 3765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  g  ->  (
f  <N  d  <->  f  <N  g ) )
64 fveq2 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  g  ->  ( G `  d )  =  ( G `  g ) )
6564breq1d 3771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  g  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  <->  ( G `  g )  <R  (
b  +R  e ) ) )
6664oveq1d 5514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  g  ->  (
( G `  d
)  +R  e )  =  ( ( G `
 g )  +R  e ) )
6766breq2d 3773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  g  ->  (
b  <R  ( ( G `
 d )  +R  e )  <->  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) )
6865, 67anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  g  ->  (
( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) )  <->  ( ( G `
 g )  <R 
( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) ) )
6963, 68imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  g  ->  (
( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) )  <->  ( f  <N  g  ->  ( ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) ) ) )
7069rspcv 2649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  N.  ->  ( A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) )  ->  (
f  <N  g  ->  (
( G `  g
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  g )  +R  e
) ) ) ) )
7160, 62, 70sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( f  <N  g  ->  ( ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) ) )
72 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  f  e.  N. )
7372adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  f  e.  N. )
74 ltrennb 6911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  <N  g  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
7573, 60, 74syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( f  <N  g  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
76 simprr 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k )
7776breq2d 3773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. 
<-> 
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k ) )
7875, 77bitrd 177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( f  <N  g  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k ) )
79 ltresr 6896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( G `  g
) ,  0R >.  <RR  <. ( b  +R  e
) ,  0R >.  <->  ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
) )
80 simplll 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  ->  ph )
8180ad4antr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ph )
821, 2, 3, 4axcaucvglemval 6952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  g  e.  N. )  ->  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  g ) ,  0R >. )
8381, 60, 82syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  g ) ,  0R >. )
8476fveq2d 5169 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  ( F `  k ) )
8583, 84eqtr3d 2074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. ( G `
 g ) ,  0R >.  =  ( F `  k )
)
86 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  b  e.  R. )
8786ad5antr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  b  e.  R. )
88 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  e  e.  R. )
8988ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  e  e.  R. )
90 addresr 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  R.  /\  e  e.  R. )  ->  ( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. (
b  +R  e ) ,  0R >. )
9187, 89, 90syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. ( b  +R  e ) ,  0R >. )
9228oveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  -> 
( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  ( <.
b ,  0R >.  +  x ) )
9392ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  ( <. b ,  0R >.  +  x
) )
9491, 93eqtr3d 2074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. ( b  +R  e ) ,  0R >.  =  ( <. b ,  0R >.  +  x ) )
9585, 94breq12d 3774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  <RR  <. (
b  +R  e ) ,  0R >.  <->  ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x ) ) )
9679, 95syl5bbr 183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
)  <->  ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x ) ) )
97 ltresr 6896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
b ,  0R >.  <RR  <. ( ( G `  g )  +R  e
) ,  0R >.  <->  b  <R  ( ( G `  g )  +R  e
) )
9881, 5syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  G : N.
--> R. )
9998, 60ffvelrnd 5290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( G `  g )  e.  R. )
100 addresr 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  g
)  e.  R.  /\  e  e.  R. )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. (
( G `  g
)  +R  e ) ,  0R >. )
10199, 89, 100syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. ( ( G `
 g )  +R  e ) ,  0R >. )
10228ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. e ,  0R >.  =  x
)
10385, 102oveq12d 5517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  ( ( F `
 k )  +  x ) )
104101, 103eqtr3d 2074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. ( ( G `  g )  +R  e ) ,  0R >.  =  (
( F `  k
)  +  x ) )
105104breq2d 3773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. b ,  0R >.  <RR  <. (
( G `  g
)  +R  e ) ,  0R >.  <->  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )
10697, 105syl5bbr 183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( b  <R  ( ( G `  g )  +R  e
)  <->  <. b ,  0R >. 
<RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
10796, 106anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( (
( G `  g
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  g )  +R  e
) )  <->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
10871, 78, 1073imtr3d 191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
10959, 108rexlimddv 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
110109ralrimiva 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  A. k  e.  N  ( <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
111 breq1 3764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  ->  ( j  <RR  k  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k ) )
112111imbi1d 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  ->  ( (
j  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  ( <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
113112ralbidv 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  ->  ( A. k  e.  N  (
j  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  A. k  e.  N  ( <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
114113rspcev 2653 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N  /\  A. k  e.  N  (
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
11557, 110, 114syl2anc 391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
11654, 115rexlimddv 2434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
11725, 116rexlimddv 2434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
118117ex 108 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
119118ralrimiva 2389 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
12022, 119sylan2br 272 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
121 oveq1 5506 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( y  +  x )  =  (
<. b ,  0R >.  +  x ) )
122121breq2d 3773 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  <-> 
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
) ) )
123 breq1 3764 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x )  <->  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
124122, 123anbi12d 442 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) )  <->  ( ( F `
 k )  <RR  (
<. b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
125124imbi2d 219 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( j 
<RR  k  ->  ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  <->  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
126125rexralbidv 2347 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  <->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
127126imbi2d 219 . . . . 5  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( 0 
<RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) )  <->  ( 0 
<RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) ) )
128127ralbidv 2323 . . . 4  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) ) )  <->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) ) )
129128rspcev 2653 . . 3  |-  ( (
<. b ,  0R >.  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) ) )
13010, 120, 129syl2anc 391 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) ) ) )
1317, 130rexlimddv 2434 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2303   E.wrex 2304   <.cop 3375   |^|cint 3612   class class class wbr 3761    |-> cmpt 3815   -->wf 4885   ` cfv 4889   iota_crio 5454  (class class class)co 5499   1oc1o 5981   [cec 6091   N.cnpi 6351    <N clti 6354    ~Q ceq 6358    <Q cltq 6364   1Pc1p 6371    +P. cpp 6372    ~R cer 6375   R.cnr 6376   0Rc0r 6377    +R cplr 6380    <R cltr 6382   RRcr 6869   0cc0 6870   1c1 6871    + caddc 6873    <RR cltrr 6874    x. cmul 6875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-setind 4256  ax-iinf 4298
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4099  df-on 4101  df-suc 4104  df-iom 4301  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-f1 4894  df-fo 4895  df-f1o 4896  df-fv 4897  df-riota 5455  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-1st 5754  df-2nd 5755  df-recs 5907  df-irdg 5944  df-1o 5988  df-2o 5989  df-oadd 5992  df-omul 5993  df-er 6093  df-ec 6095  df-qs 6099  df-ni 6383  df-pli 6384  df-mi 6385  df-lti 6386  df-plpq 6423  df-mpq 6424  df-enq 6426  df-nqqs 6427  df-plqqs 6428  df-mqqs 6429  df-1nqqs 6430  df-rq 6431  df-ltnqqs 6432  df-enq0 6503  df-nq0 6504  df-0nq0 6505  df-plq0 6506  df-mq0 6507  df-inp 6545  df-i1p 6546  df-iplp 6547  df-imp 6548  df-iltp 6549  df-enr 6792  df-nr 6793  df-plr 6794  df-mr 6795  df-ltr 6796  df-0r 6797  df-1r 6798  df-m1r 6799  df-c 6876  df-0 6877  df-1 6878  df-r 6880  df-add 6881  df-mul 6882  df-lt 6883
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