ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-mulext Unicode version
Theorem axpre-mulext 6962
Description: Strong extensionality of multiplication (expressed in terms of <RR). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulext 7002.

(Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axpre-mulext |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
Proof of Theorem axpre-mulext
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6905 . 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2 elreal 6905 . 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3 elreal 6905 . 2 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4 oveq1 5519 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = ( A x. <. z , 0R >. ) )
54breq1d 3774 . . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) ) )
6 breq1 3767 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
7 breq2 3768 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> <. y , 0R >. <RR A ) )
86, 7orbi12d 707 . . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
95, 8imbi12d 223 . 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) ) <-> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) ) )
10 oveq1 5519 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = ( B x. <. z , 0R >. ) )
1110breq2d 3776 . . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) ) )
12 breq2 3768 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
13 breq1 3767 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR A <-> B <RR A ) )
1412, 13orbi12d 707 . . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
1511, 14imbi12d 223 . 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) <-> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) ) )
16 oveq2 5520 . . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( A x. <. z , 0R >. ) = ( A x. C ) )
17 oveq2 5520 . . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( B x. <. z , 0R >. ) = ( B x. C ) )
1816, 17breq12d 3777 . . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. C ) <RR ( B x. C ) ) )
1918imbi1d 220 . 2 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) <-> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) ) )
20 mulextsr1 6865 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( x .R z ) <R ( y .R z ) -> ( x <R y \/ y <R x ) ) )
21 mulresr 6914 . . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( x .R z ) , 0R >. )
22213adant2 923 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( x .R z ) , 0R >. )
23 mulresr 6914 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
24233adant1 922 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
2522, 24breq12d 3777 . . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> <. ( x .R z ) , 0R >. <RR <. ( y .R z ) , 0R >. ) )
26 ltresr 6915 . . . 4 |- ( <. ( x .R z ) , 0R >. <RR <. ( y .R z ) , 0R >. <-> ( x .R z ) <R ( y .R z ) )
2725, 26syl6bb 185 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( x .R z ) <R ( y .R z ) ) )
28 ltresr 6915 . . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
29 ltresr 6915 . . . . 5 |- ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> y <R x )
3028, 29orbi12i 681 . . . 4 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) )
3130a1i 9 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) ) )
3220, 27, 313imtr4d 192 . 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) ) )
331, 2, 3, 9, 15, 19, 323gencl 2588 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   \/ wo 629   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   R.cnr 6395   0Rc0r 6396   .R cmr 6400   <R cltr 6401   RRcr 6888   <RR cltrr 6893   x. cmul 6894
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-imp 6567  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-plr 6813  df-mr 6814  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-m1r 6818  df-c 6895  df-r 6899  df-mul 6901  df-lt 6902
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator