ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elreal GIF version

Theorem elreal 6886
Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
elreal (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elreal
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 6880 . . 3 ℝ = (R × {0R})
21eleq2i 2104 . 2 (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ (R × {0R}))
3 elxp2 4350 . . 3 (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥R𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4 0r 6816 . . . . . . 7 0RR
54elexi 2564 . . . . . 6 0R ∈ V
6 opeq2 3547 . . . . . . 7 (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
76eqeq2d 2051 . . . . . 6 (𝑦 = 0R → (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩))
85, 7rexsn 3412 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩)
9 eqcom 2042 . . . . 5 (𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
108, 9bitri 173 . . . 4 (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
1110rexbii 2328 . . 3 (∃𝑥R𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
123, 11bitri 173 . 2 (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
132, 12bitri 173 1 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393  wrex 2304  {csn 3372  cop 3375   × cxp 4330  Rcnr 6376  0Rc0r 6377  cr 6869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-setind 4256  ax-iinf 4298
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4099  df-on 4101  df-suc 4104  df-iom 4301  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-f1 4894  df-fo 4895  df-f1o 4896  df-fv 4897  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-1st 5754  df-2nd 5755  df-recs 5907  df-irdg 5944  df-1o 5988  df-oadd 5992  df-omul 5993  df-er 6093  df-ec 6095  df-qs 6099  df-ni 6383  df-pli 6384  df-mi 6385  df-lti 6386  df-plpq 6423  df-mpq 6424  df-enq 6426  df-nqqs 6427  df-plqqs 6428  df-mqqs 6429  df-1nqqs 6430  df-rq 6431  df-ltnqqs 6432  df-inp 6545  df-i1p 6546  df-enr 6792  df-nr 6793  df-0r 6797  df-r 6880
This theorem is referenced by:  elrealeu  6887  axaddrcl  6922  axmulrcl  6924  axprecex  6935  axpre-ltirr  6937  axpre-ltwlin  6938  axpre-lttrn  6939  axpre-apti  6940  axpre-ltadd  6941  axpre-mulgt0  6942  axpre-mulext  6943  axarch  6946  axcaucvglemres  6954
  Copyright terms: Public domain W3C validator