ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltwlin Structured version   GIF version

Theorem axpre-ltwlin 6719
Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltwlin 6748. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltwlin ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (A < 𝐶 𝐶 < B)))

Proof of Theorem axpre-ltwlin
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6679 . 2 (A ℝ ↔ x Rx, 0R⟩ = A)
2 elreal 6679 . 2 (B ℝ ↔ y Ry, 0R⟩ = B)
3 elreal 6679 . 2 (𝐶 ℝ ↔ z Rz, 0R⟩ = 𝐶)
4 breq1 3757 . . 3 (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ A <y, 0R⟩))
5 breq1 3757 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ <z, 0R⟩ ↔ A <z, 0R⟩))
65orbi1d 704 . . 3 (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨x, 0R⟩ <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩) ↔ (A <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩)))
74, 6imbi12d 223 . 2 (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ → (⟨x, 0R⟩ <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩)) ↔ (A <y, 0R⟩ → (A <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩))))
8 breq2 3758 . . 3 (⟨y, 0R⟩ = B → (A <y, 0R⟩ ↔ A < B))
9 breq2 3758 . . . 4 (⟨y, 0R⟩ = B → (⟨z, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ ⟨z, 0R⟩ < B))
109orbi2d 703 . . 3 (⟨y, 0R⟩ = B → ((A <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩) ↔ (A <z, 0Rz, 0R⟩ < B)))
118, 10imbi12d 223 . 2 (⟨y, 0R⟩ = B → ((A <y, 0R⟩ → (A <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩)) ↔ (A < B → (A <z, 0Rz, 0R⟩ < B))))
12 breq2 3758 . . . 4 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → (A <z, 0R⟩ ↔ A < 𝐶))
13 breq1 3757 . . . 4 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → (⟨z, 0R⟩ < B𝐶 < B))
1412, 13orbi12d 706 . . 3 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → ((A <z, 0Rz, 0R⟩ < B) ↔ (A < 𝐶 𝐶 < B)))
1514imbi2d 219 . 2 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → ((A < B → (A <z, 0Rz, 0R⟩ < B)) ↔ (A < B → (A < 𝐶 𝐶 < B))))
16 ltsosr 6644 . . . 4 <R Or R
17 sowlin 4047 . . . 4 (( <R Or R (x R y R z R)) → (x <R y → (x <R z z <R y)))
1816, 17mpan 400 . . 3 ((x R y R z R) → (x <R y → (x <R z z <R y)))
19 ltresr 6688 . . 3 (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ x <R y)
20 ltresr 6688 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ <z, 0R⟩ ↔ x <R z)
21 ltresr 6688 . . . 4 (⟨z, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ z <R y)
2220, 21orbi12i 680 . . 3 ((⟨x, 0R⟩ <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩) ↔ (x <R z z <R y))
2318, 19, 223imtr4g 194 . 2 ((x R y R z R) → (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ → (⟨x, 0R⟩ <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩)))
241, 2, 3, 7, 11, 15, 233gencl 2582 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (A < 𝐶 𝐶 < B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3369   class class class wbr 3754   Or wor 4022  Rcnr 6274  0Rc0r 6275   <R cltr 6280  cr 6662   < cltrr 6667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-r 6673  df-lt 6676
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator