ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltwlin Structured version   GIF version

Theorem axpre-ltwlin 6576
Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltwlin 6603. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltwlin ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (A < 𝐶 𝐶 < B)))

Proof of Theorem axpre-ltwlin
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6540 . 2 (A ℝ ↔ x Rx, 0R⟩ = A)
2 elreal 6540 . 2 (B ℝ ↔ y Ry, 0R⟩ = B)
3 elreal 6540 . 2 (𝐶 ℝ ↔ z Rz, 0R⟩ = 𝐶)
4 breq1 3737 . . 3 (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ A <y, 0R⟩))
5 breq1 3737 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ <z, 0R⟩ ↔ A <z, 0R⟩))
65orbi1d 692 . . 3 (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨x, 0R⟩ <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩) ↔ (A <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩)))
74, 6imbi12d 223 . 2 (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ → (⟨x, 0R⟩ <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩)) ↔ (A <y, 0R⟩ → (A <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩))))
8 breq2 3738 . . 3 (⟨y, 0R⟩ = B → (A <y, 0R⟩ ↔ A < B))
9 breq2 3738 . . . 4 (⟨y, 0R⟩ = B → (⟨z, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ ⟨z, 0R⟩ < B))
109orbi2d 691 . . 3 (⟨y, 0R⟩ = B → ((A <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩) ↔ (A <z, 0Rz, 0R⟩ < B)))
118, 10imbi12d 223 . 2 (⟨y, 0R⟩ = B → ((A <y, 0R⟩ → (A <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩)) ↔ (A < B → (A <z, 0Rz, 0R⟩ < B))))
12 breq2 3738 . . . 4 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → (A <z, 0R⟩ ↔ A < 𝐶))
13 breq1 3737 . . . 4 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → (⟨z, 0R⟩ < B𝐶 < B))
1412, 13orbi12d 694 . . 3 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → ((A <z, 0Rz, 0R⟩ < B) ↔ (A < 𝐶 𝐶 < B)))
1514imbi2d 219 . 2 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → ((A < B → (A <z, 0Rz, 0R⟩ < B)) ↔ (A < B → (A < 𝐶 𝐶 < B))))
16 ltsosr 6508 . . . 4 <R Or R
17 sowlin 4027 . . . 4 (( <R Or R (x R y R z R)) → (x <R y → (x <R z z <R y)))
1816, 17mpan 402 . . 3 ((x R y R z R) → (x <R y → (x <R z z <R y)))
19 ltresr 6549 . . 3 (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ x <R y)
20 ltresr 6549 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ <z, 0R⟩ ↔ x <R z)
21 ltresr 6549 . . . 4 (⟨z, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ z <R y)
2220, 21orbi12i 668 . . 3 ((⟨x, 0R⟩ <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩) ↔ (x <R z z <R y))
2318, 19, 223imtr4g 194 . 2 ((x R y R z R) → (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ → (⟨x, 0R⟩ <z, 0Rz, 0R⟩ <y, 0R⟩)))
241, 2, 3, 7, 11, 15, 233gencl 2561 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (A < 𝐶 𝐶 < B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wo 616   w3a 871   = wceq 1226   wcel 1370  cop 3349   class class class wbr 3734   Or wor 4002  Rcnr 6151  0Rc0r 6152   <R cltr 6157  cr 6523   < cltrr 6528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-2o 5913  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160  df-lti 6161  df-plpq 6197  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-plqqs 6202  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-enq0 6273  df-nq0 6274  df-0nq0 6275  df-plq0 6276  df-mq0 6277  df-inp 6314  df-i1p 6315  df-iplp 6316  df-iltp 6318  df-enr 6470  df-nr 6471  df-ltr 6474  df-0r 6475  df-r 6534  df-lt 6537
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator