Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > axpre-lttrn | GIF version |
Description: Ordering on reals is transitive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttrn 6998. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
axpre-lttrn | ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 <ℝ 𝐵 ∧ 𝐵 <ℝ 𝐶) → 𝐴 <ℝ 𝐶)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elreal 6905 | . 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R 〈𝑥, 0R〉 = 𝐴) | |
2 | elreal 6905 | . 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ R 〈𝑦, 0R〉 = 𝐵) | |
3 | elreal 6905 | . 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ ↔ ∃𝑧 ∈ R 〈𝑧, 0R〉 = 𝐶) | |
4 | breq1 3767 | . . . 4 ⊢ (〈𝑥, 0R〉 = 𝐴 → (〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ↔ 𝐴 <ℝ 〈𝑦, 0R〉)) | |
5 | 4 | anbi1d 438 | . . 3 ⊢ (〈𝑥, 0R〉 = 𝐴 → ((〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ∧ 〈𝑦, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) ↔ (𝐴 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ∧ 〈𝑦, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉))) |
6 | breq1 3767 | . . 3 ⊢ (〈𝑥, 0R〉 = 𝐴 → (〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉 ↔ 𝐴 <ℝ 〈𝑧, 0R〉)) | |
7 | 5, 6 | imbi12d 223 | . 2 ⊢ (〈𝑥, 0R〉 = 𝐴 → (((〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ∧ 〈𝑦, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) → 〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) ↔ ((𝐴 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ∧ 〈𝑦, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) → 𝐴 <ℝ 〈𝑧, 0R〉))) |
8 | breq2 3768 | . . . 4 ⊢ (〈𝑦, 0R〉 = 𝐵 → (𝐴 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵)) | |
9 | breq1 3767 | . . . 4 ⊢ (〈𝑦, 0R〉 = 𝐵 → (〈𝑦, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉 ↔ 𝐵 <ℝ 〈𝑧, 0R〉)) | |
10 | 8, 9 | anbi12d 442 | . . 3 ⊢ (〈𝑦, 0R〉 = 𝐵 → ((𝐴 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ∧ 〈𝑦, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) ↔ (𝐴 <ℝ 𝐵 ∧ 𝐵 <ℝ 〈𝑧, 0R〉))) |
11 | 10 | imbi1d 220 | . 2 ⊢ (〈𝑦, 0R〉 = 𝐵 → (((𝐴 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ∧ 〈𝑦, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) → 𝐴 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) ↔ ((𝐴 <ℝ 𝐵 ∧ 𝐵 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) → 𝐴 <ℝ 〈𝑧, 0R〉))) |
12 | breq2 3768 | . . . 4 ⊢ (〈𝑧, 0R〉 = 𝐶 → (𝐵 <ℝ 〈𝑧, 0R〉 ↔ 𝐵 <ℝ 𝐶)) | |
13 | 12 | anbi2d 437 | . . 3 ⊢ (〈𝑧, 0R〉 = 𝐶 → ((𝐴 <ℝ 𝐵 ∧ 𝐵 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) ↔ (𝐴 <ℝ 𝐵 ∧ 𝐵 <ℝ 𝐶))) |
14 | breq2 3768 | . . 3 ⊢ (〈𝑧, 0R〉 = 𝐶 → (𝐴 <ℝ 〈𝑧, 0R〉 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐶)) | |
15 | 13, 14 | imbi12d 223 | . 2 ⊢ (〈𝑧, 0R〉 = 𝐶 → (((𝐴 <ℝ 𝐵 ∧ 𝐵 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) → 𝐴 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) ↔ ((𝐴 <ℝ 𝐵 ∧ 𝐵 <ℝ 𝐶) → 𝐴 <ℝ 𝐶))) |
16 | ltresr 6915 | . . . . 5 ⊢ (〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ↔ 𝑥 <R 𝑦) | |
17 | ltresr 6915 | . . . . 5 ⊢ (〈𝑦, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉 ↔ 𝑦 <R 𝑧) | |
18 | ltsosr 6849 | . . . . . 6 ⊢ <R Or R | |
19 | ltrelsr 6823 | . . . . . 6 ⊢ <R ⊆ (R × R) | |
20 | 18, 19 | sotri 4720 | . . . . 5 ⊢ ((𝑥 <R 𝑦 ∧ 𝑦 <R 𝑧) → 𝑥 <R 𝑧) |
21 | 16, 17, 20 | syl2anb 275 | . . . 4 ⊢ ((〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ∧ 〈𝑦, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) → 𝑥 <R 𝑧) |
22 | ltresr 6915 | . . . 4 ⊢ (〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉 ↔ 𝑥 <R 𝑧) | |
23 | 21, 22 | sylibr 137 | . . 3 ⊢ ((〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ∧ 〈𝑦, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) → 〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) |
24 | 23 | a1i 9 | . 2 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → ((〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑦, 0R〉 ∧ 〈𝑦, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉) → 〈𝑥, 0R〉 <ℝ 〈𝑧, 0R〉)) |
25 | 1, 2, 3, 7, 11, 15, 24 | 3gencl 2588 | 1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 <ℝ 𝐵 ∧ 𝐵 <ℝ 𝐶) → 𝐴 <ℝ 𝐶)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 97 ∧ w3a 885 = wceq 1243 ∈ wcel 1393 〈cop 3378 class class class wbr 3764 Rcnr 6395 0Rc0r 6396 <R cltr 6401 ℝcr 6888 <ℝ cltrr 6893 |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-coll 3872 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 ax-iinf 4311 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 743 df-3or 886 df-3an 887 df-tru 1246 df-fal 1249 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-ral 2311 df-rex 2312 df-reu 2313 df-rab 2315 df-v 2559 df-sbc 2765 df-csb 2853 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-int 3616 df-iun 3659 df-br 3765 df-opab 3819 df-mpt 3820 df-tr 3855 df-eprel 4026 df-id 4030 df-po 4033 df-iso 4034 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 df-iom 4314 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357 df-ima 4358 df-iota 4867 df-fun 4904 df-fn 4905 df-f 4906 df-f1 4907 df-fo 4908 df-f1o 4909 df-fv 4910 df-ov 5515 df-oprab 5516 df-mpt2 5517 df-1st 5767 df-2nd 5768 df-recs 5920 df-irdg 5957 df-1o 6001 df-2o 6002 df-oadd 6005 df-omul 6006 df-er 6106 df-ec 6108 df-qs 6112 df-ni 6402 df-pli 6403 df-mi 6404 df-lti 6405 df-plpq 6442 df-mpq 6443 df-enq 6445 df-nqqs 6446 df-plqqs 6447 df-mqqs 6448 df-1nqqs 6449 df-rq 6450 df-ltnqqs 6451 df-enq0 6522 df-nq0 6523 df-0nq0 6524 df-plq0 6525 df-mq0 6526 df-inp 6564 df-i1p 6565 df-iplp 6566 df-iltp 6568 df-enr 6811 df-nr 6812 df-ltr 6815 df-0r 6816 df-r 6899 df-lt 6902 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |