ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsosr Structured version   GIF version

Theorem ltsosr 6505
Description: Signed real 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.)
Assertion
Ref Expression
ltsosr <R Or R

Proof of Theorem ltsosr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 f 𝑟 𝑠 𝑡 x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltposr 6504 . 2 <R Po R
2 df-nr 6468 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
3 breq1 3733 . . . . 5 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Rx <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ))
4 breq1 3733 . . . . . 6 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~Rx <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ))
54orbi1d 689 . . . . 5 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )))
63, 5imbi12d 223 . . . 4 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )) ↔ (x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ))))
7 breq2 3734 . . . . 5 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → (x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Rx <R y))
8 breq2 3734 . . . . . 6 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y))
98orbi2d 688 . . . . 5 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ((x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y)))
107, 9imbi12d 223 . . . 4 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ((x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )) ↔ (x <R y → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y))))
11 breq2 3734 . . . . . 6 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~Rx <R z))
12 breq1 3733 . . . . . 6 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R yz <R y))
1311, 12orbi12d 691 . . . . 5 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ((x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y) ↔ (x <R z z <R y)))
1413imbi2d 219 . . . 4 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ((x <R y → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y)) ↔ (x <R y → (x <R z z <R y))))
15 simp1l 912 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑎 P)
16 simp3r 917 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → f P)
17 addclpr 6381 . . . . . . . . 9 ((𝑎 P f P) → (𝑎 +P f) P)
1815, 16, 17syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑎 +P f) P)
19 simp2r 915 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑑 P)
20 addclpr 6381 . . . . . . . 8 (((𝑎 +P f) P 𝑑 P) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) P)
2118, 19, 20syl2anc 391 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) P)
22 simp2l 914 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑐 P)
23 addclpr 6381 . . . . . . . . 9 ((f P 𝑐 P) → (f +P 𝑐) P)
2416, 22, 23syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P 𝑐) P)
25 simp1r 913 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑏 P)
26 addclpr 6381 . . . . . . . 8 (((f +P 𝑐) P 𝑏 P) → ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P)
2724, 25, 26syl2anc 391 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P)
28 simp3l 916 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑒 P)
29 addclpr 6381 . . . . . . . . 9 ((𝑏 P 𝑒 P) → (𝑏 +P 𝑒) P)
3025, 28, 29syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P 𝑒) P)
31 addclpr 6381 . . . . . . . 8 (((𝑏 +P 𝑒) P 𝑑 P) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)
3230, 19, 31syl2anc 391 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)
33 ltsopr 6422 . . . . . . . 8 <P Or P
34 sowlin 4023 . . . . . . . 8 ((<P Or P (((𝑎 +P f) +P 𝑑) P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
3533, 34mpan 400 . . . . . . 7 ((((𝑎 +P f) +P 𝑑) P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
3621, 27, 32, 35syl3anc 1118 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
37 addclpr 6381 . . . . . . . . 9 ((𝑎 P 𝑑 P) → (𝑎 +P 𝑑) P)
3815, 19, 37syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑎 +P 𝑑) P)
39 addclpr 6381 . . . . . . . . 9 ((𝑏 P 𝑐 P) → (𝑏 +P 𝑐) P)
4025, 22, 39syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P 𝑐) P)
41 ltaprg 6444 . . . . . . . 8 (((𝑎 +P 𝑑) P (𝑏 +P 𝑐) P f P) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ (f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐))))
4238, 40, 16, 41syl3anc 1118 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ (f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐))))
43 addcomprg 6406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
4443adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
45 addassprg 6407 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
4645adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
4716, 15, 19, 44, 46caov12d 5596 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑎 +P 𝑑)) = (𝑎 +P (f +P 𝑑)))
4846, 15, 16, 19caovassd 5574 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) = (𝑎 +P (f +P 𝑑)))
4947, 48eqtr4d 2051 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑎 +P 𝑑)) = ((𝑎 +P f) +P 𝑑))
5046, 16, 25, 22caovassd 5574 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑏) +P 𝑐) = (f +P (𝑏 +P 𝑐)))
5116, 25, 22, 44, 46caov32d 5595 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑏) +P 𝑐) = ((f +P 𝑐) +P 𝑏))
5250, 51eqtr3d 2050 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑏 +P 𝑐)) = ((f +P 𝑐) +P 𝑏))
5349, 52breq12d 3743 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐)) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
5442, 53bitrd 177 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
55 ltaprg 6444 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
5655adantl 262 . . . . . . . 8 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
5756, 18, 30, 19, 44caovord2d 5584 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)))
58 addclpr 6381 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 P 𝑑 P) → (𝑒 +P 𝑑) P)
5928, 19, 58syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑒 +P 𝑑) P)
6056, 59, 24, 25, 44caovord2d 5584 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐) ↔ ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6146, 25, 28, 19caovassd 5574 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) = (𝑏 +P (𝑒 +P 𝑑)))
6244, 25, 59caovcomd 5571 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P (𝑒 +P 𝑑)) = ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏))
6361, 62eqtrd 2048 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) = ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏))
6463breq1d 3740 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) ↔ ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6560, 64bitr4d 180 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐) ↔ ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6657, 65orbi12d 691 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)) ↔ (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
6736, 54, 663imtr4d 192 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) → ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐))))
68 ltsrprg 6488 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐)))
69683adant3 908 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐)))
70 ltsrprg 6488 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ↔ (𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒)))
71703adant2 907 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ↔ (𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒)))
72 ltsrprg 6488 . . . . . . . 8 (((𝑒 P f P) (𝑐 P 𝑑 P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
7372ancoms 255 . . . . . . 7 (((𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
74733adant1 906 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
7571, 74orbi12d 691 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐))))
7667, 69, 753imtr4d 192 . . . 4 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )))
772, 6, 10, 14, 763ecoptocl 6097 . . 3 ((x R y R z R) → (x <R y → (x <R z z <R y)))
7877rgen3 2378 . 2 x R y R z R (x <R y → (x <R z z <R y))
79 df-iso 4000 . 2 ( <R Or R ↔ ( <R Po R x R y R z R (x <R y → (x <R z z <R y))))
801, 78, 79mpbir2an 833 1 <R Or R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 613   w3a 869   = wceq 1226   wcel 1369  wral 2278  cop 3345   class class class wbr 3730   Po wpo 3997   Or wor 3998  (class class class)co 5427  [cec 6006  Pcnp 6140   +P cpp 6142  <P cltp 6144   ~R cer 6145  Rcnr 6146   <R cltr 6152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1358  ax-ie2 1359  ax-8 1371  ax-10 1372  ax-11 1373  ax-i12 1374  ax-bnd 1375  ax-4 1376  ax-13 1380  ax-14 1381  ax-17 1395  ax-i9 1399  ax-ial 1403  ax-i5r 1404  ax-ext 1998  ax-coll 3838  ax-sep 3841  ax-nul 3849  ax-pow 3893  ax-pr 3910  ax-un 4111  ax-setind 4195  ax-iinf 4229
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 870  df-3an 871  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1622  df-eu 1879  df-mo 1880  df-clab 2003  df-cleq 2009  df-clel 2012  df-nfc 2143  df-ne 2182  df-ral 2283  df-rex 2284  df-reu 2285  df-rab 2287  df-v 2531  df-sbc 2736  df-csb 2824  df-dif 2891  df-un 2893  df-in 2895  df-ss 2902  df-nul 3196  df-pw 3328  df-sn 3348  df-pr 3349  df-op 3351  df-uni 3547  df-int 3582  df-iun 3625  df-br 3731  df-opab 3785  df-mpt 3786  df-tr 3821  df-eprel 3992  df-id 3996  df-po 3999  df-iso 4000  df-iord 4044  df-on 4046  df-suc 4049  df-iom 4232  df-xp 4269  df-rel 4270  df-cnv 4271  df-co 4272  df-dm 4273  df-rn 4274  df-res 4275  df-ima 4276  df-iota 4785  df-fun 4822  df-fn 4823  df-f 4824  df-f1 4825  df-fo 4826  df-f1o 4827  df-fv 4828  df-ov 5430  df-oprab 5431  df-mpt2 5432  df-1st 5681  df-2nd 5682  df-recs 5833  df-irdg 5869  df-1o 5907  df-2o 5908  df-oadd 5911  df-omul 5912  df-er 6008  df-ec 6010  df-qs 6014  df-ni 6153  df-pli 6154  df-mi 6155  df-lti 6156  df-plpq 6192  df-mpq 6193  df-enq 6195  df-nqqs 6196  df-plqqs 6197  df-mqqs 6198  df-1nqqs 6199  df-rq 6200  df-ltnqqs 6201  df-enq0 6268  df-nq0 6269  df-0nq0 6270  df-plq0 6271  df-mq0 6272  df-inp 6309  df-iplp 6311  df-iltp 6313  df-enr 6467  df-nr 6468  df-ltr 6471
This theorem is referenced by:  1ne0sr  6507  addgt0sr  6516  axpre-ltirr  6574  axpre-ltwlin  6575  axpre-lttrn  6576
  Copyright terms: Public domain W3C validator