Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsosr Structured version   GIF version

Theorem ltsosr 6508
 Description: Signed real 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.)
Assertion
Ref Expression
ltsosr <R Or R

Proof of Theorem ltsosr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 f 𝑟 𝑠 𝑡 x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltposr 6507 . 2 <R Po R
2 df-nr 6471 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
3 breq1 3737 . . . . 5 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Rx <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ))
4 breq1 3737 . . . . . 6 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~Rx <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ))
54orbi1d 692 . . . . 5 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )))
63, 5imbi12d 223 . . . 4 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )) ↔ (x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ))))
7 breq2 3738 . . . . 5 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → (x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Rx <R y))
8 breq2 3738 . . . . . 6 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y))
98orbi2d 691 . . . . 5 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ((x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y)))
107, 9imbi12d 223 . . . 4 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ((x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )) ↔ (x <R y → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y))))
11 breq2 3738 . . . . . 6 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~Rx <R z))
12 breq1 3737 . . . . . 6 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R yz <R y))
1311, 12orbi12d 694 . . . . 5 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ((x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y) ↔ (x <R z z <R y)))
1413imbi2d 219 . . . 4 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ((x <R y → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y)) ↔ (x <R y → (x <R z z <R y))))
15 simp1l 914 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑎 P)
16 simp3r 919 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → f P)
17 addclpr 6386 . . . . . . . . 9 ((𝑎 P f P) → (𝑎 +P f) P)
1815, 16, 17syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑎 +P f) P)
19 simp2r 917 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑑 P)
20 addclpr 6386 . . . . . . . 8 (((𝑎 +P f) P 𝑑 P) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) P)
2118, 19, 20syl2anc 393 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) P)
22 simp2l 916 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑐 P)
23 addclpr 6386 . . . . . . . . 9 ((f P 𝑐 P) → (f +P 𝑐) P)
2416, 22, 23syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P 𝑐) P)
25 simp1r 915 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑏 P)
26 addclpr 6386 . . . . . . . 8 (((f +P 𝑐) P 𝑏 P) → ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P)
2724, 25, 26syl2anc 393 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P)
28 simp3l 918 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑒 P)
29 addclpr 6386 . . . . . . . . 9 ((𝑏 P 𝑒 P) → (𝑏 +P 𝑒) P)
3025, 28, 29syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P 𝑒) P)
31 addclpr 6386 . . . . . . . 8 (((𝑏 +P 𝑒) P 𝑑 P) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)
3230, 19, 31syl2anc 393 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)
33 ltsopr 6427 . . . . . . . 8 <P Or P
34 sowlin 4027 . . . . . . . 8 ((<P Or P (((𝑎 +P f) +P 𝑑) P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
3533, 34mpan 402 . . . . . . 7 ((((𝑎 +P f) +P 𝑑) P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
3621, 27, 32, 35syl3anc 1119 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
37 addclpr 6386 . . . . . . . . 9 ((𝑎 P 𝑑 P) → (𝑎 +P 𝑑) P)
3815, 19, 37syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑎 +P 𝑑) P)
39 addclpr 6386 . . . . . . . . 9 ((𝑏 P 𝑐 P) → (𝑏 +P 𝑐) P)
4025, 22, 39syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P 𝑐) P)
41 ltaprg 6449 . . . . . . . 8 (((𝑎 +P 𝑑) P (𝑏 +P 𝑐) P f P) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ (f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐))))
4238, 40, 16, 41syl3anc 1119 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ (f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐))))
43 addcomprg 6411 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
4443adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
45 addassprg 6412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
4645adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
4716, 15, 19, 44, 46caov12d 5601 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑎 +P 𝑑)) = (𝑎 +P (f +P 𝑑)))
4846, 15, 16, 19caovassd 5579 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) = (𝑎 +P (f +P 𝑑)))
4947, 48eqtr4d 2053 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑎 +P 𝑑)) = ((𝑎 +P f) +P 𝑑))
5046, 16, 25, 22caovassd 5579 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑏) +P 𝑐) = (f +P (𝑏 +P 𝑐)))
5116, 25, 22, 44, 46caov32d 5600 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑏) +P 𝑐) = ((f +P 𝑐) +P 𝑏))
5250, 51eqtr3d 2052 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑏 +P 𝑐)) = ((f +P 𝑐) +P 𝑏))
5349, 52breq12d 3747 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐)) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
5442, 53bitrd 177 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
55 ltaprg 6449 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
5655adantl 262 . . . . . . . 8 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
5756, 18, 30, 19, 44caovord2d 5589 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)))
58 addclpr 6386 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 P 𝑑 P) → (𝑒 +P 𝑑) P)
5928, 19, 58syl2anc 393 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑒 +P 𝑑) P)
6056, 59, 24, 25, 44caovord2d 5589 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐) ↔ ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6146, 25, 28, 19caovassd 5579 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) = (𝑏 +P (𝑒 +P 𝑑)))
6244, 25, 59caovcomd 5576 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P (𝑒 +P 𝑑)) = ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏))
6361, 62eqtrd 2050 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) = ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏))
6463breq1d 3744 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) ↔ ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6560, 64bitr4d 180 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐) ↔ ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6657, 65orbi12d 694 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)) ↔ (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
6736, 54, 663imtr4d 192 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) → ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐))))
68 ltsrprg 6491 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐)))
69683adant3 910 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐)))
70 ltsrprg 6491 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ↔ (𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒)))
71703adant2 909 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ↔ (𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒)))
72 ltsrprg 6491 . . . . . . . 8 (((𝑒 P f P) (𝑐 P 𝑑 P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
7372ancoms 255 . . . . . . 7 (((𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
74733adant1 908 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
7571, 74orbi12d 694 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐))))
7667, 69, 753imtr4d 192 . . . 4 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )))
772, 6, 10, 14, 763ecoptocl 6102 . . 3 ((x R y R z R) → (x <R y → (x <R z z <R y)))
7877rgen3 2380 . 2 x R y R z R (x <R y → (x <R z z <R y))
79 df-iso 4004 . 2 ( <R Or R ↔ ( <R Po R x R y R z R (x <R y → (x <R z z <R y))))
801, 78, 79mpbir2an 835 1 <R Or R
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 616   ∧ w3a 871   = wceq 1226   ∈ wcel 1370  ∀wral 2280  ⟨cop 3349   class class class wbr 3734   Po wpo 4001   Or wor 4002  (class class class)co 5432  [cec 6011  Pcnp 6145   +P cpp 6147
 Copyright terms: Public domain W3C validator