ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsosr Structured version   GIF version

Theorem ltsosr 6652
Description: Signed real 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.)
Assertion
Ref Expression
ltsosr <R Or R

Proof of Theorem ltsosr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 f 𝑟 𝑠 𝑡 x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltposr 6651 . 2 <R Po R
2 df-nr 6615 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
3 breq1 3758 . . . . 5 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Rx <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ))
4 breq1 3758 . . . . . 6 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~Rx <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ))
54orbi1d 704 . . . . 5 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )))
63, 5imbi12d 223 . . . 4 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )) ↔ (x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ))))
7 breq2 3759 . . . . 5 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → (x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Rx <R y))
8 breq2 3759 . . . . . 6 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y))
98orbi2d 703 . . . . 5 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ((x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y)))
107, 9imbi12d 223 . . . 4 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ((x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )) ↔ (x <R y → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y))))
11 breq2 3759 . . . . . 6 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~Rx <R z))
12 breq1 3758 . . . . . 6 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R yz <R y))
1311, 12orbi12d 706 . . . . 5 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ((x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y) ↔ (x <R z z <R y)))
1413imbi2d 219 . . . 4 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ((x <R y → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y)) ↔ (x <R y → (x <R z z <R y))))
15 simp1l 927 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑎 P)
16 simp3r 932 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → f P)
17 addclpr 6520 . . . . . . . . 9 ((𝑎 P f P) → (𝑎 +P f) P)
1815, 16, 17syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑎 +P f) P)
19 simp2r 930 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑑 P)
20 addclpr 6520 . . . . . . . 8 (((𝑎 +P f) P 𝑑 P) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) P)
2118, 19, 20syl2anc 391 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) P)
22 simp2l 929 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑐 P)
23 addclpr 6520 . . . . . . . . 9 ((f P 𝑐 P) → (f +P 𝑐) P)
2416, 22, 23syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P 𝑐) P)
25 simp1r 928 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑏 P)
26 addclpr 6520 . . . . . . . 8 (((f +P 𝑐) P 𝑏 P) → ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P)
2724, 25, 26syl2anc 391 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P)
28 simp3l 931 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑒 P)
29 addclpr 6520 . . . . . . . . 9 ((𝑏 P 𝑒 P) → (𝑏 +P 𝑒) P)
3025, 28, 29syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P 𝑒) P)
31 addclpr 6520 . . . . . . . 8 (((𝑏 +P 𝑒) P 𝑑 P) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)
3230, 19, 31syl2anc 391 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)
33 ltsopr 6568 . . . . . . . 8 <P Or P
34 sowlin 4048 . . . . . . . 8 ((<P Or P (((𝑎 +P f) +P 𝑑) P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
3533, 34mpan 400 . . . . . . 7 ((((𝑎 +P f) +P 𝑑) P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
3621, 27, 32, 35syl3anc 1134 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
37 addclpr 6520 . . . . . . . . 9 ((𝑎 P 𝑑 P) → (𝑎 +P 𝑑) P)
3815, 19, 37syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑎 +P 𝑑) P)
39 addclpr 6520 . . . . . . . . 9 ((𝑏 P 𝑐 P) → (𝑏 +P 𝑐) P)
4025, 22, 39syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P 𝑐) P)
41 ltaprg 6590 . . . . . . . 8 (((𝑎 +P 𝑑) P (𝑏 +P 𝑐) P f P) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ (f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐))))
4238, 40, 16, 41syl3anc 1134 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ (f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐))))
43 addcomprg 6552 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
4443adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
45 addassprg 6553 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
4645adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
4716, 15, 19, 44, 46caov12d 5624 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑎 +P 𝑑)) = (𝑎 +P (f +P 𝑑)))
4846, 15, 16, 19caovassd 5602 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) = (𝑎 +P (f +P 𝑑)))
4947, 48eqtr4d 2072 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑎 +P 𝑑)) = ((𝑎 +P f) +P 𝑑))
5046, 16, 25, 22caovassd 5602 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑏) +P 𝑐) = (f +P (𝑏 +P 𝑐)))
5116, 25, 22, 44, 46caov32d 5623 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑏) +P 𝑐) = ((f +P 𝑐) +P 𝑏))
5250, 51eqtr3d 2071 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑏 +P 𝑐)) = ((f +P 𝑐) +P 𝑏))
5349, 52breq12d 3768 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐)) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
5442, 53bitrd 177 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
55 ltaprg 6590 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
5655adantl 262 . . . . . . . 8 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
5756, 18, 30, 19, 44caovord2d 5612 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)))
58 addclpr 6520 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 P 𝑑 P) → (𝑒 +P 𝑑) P)
5928, 19, 58syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑒 +P 𝑑) P)
6056, 59, 24, 25, 44caovord2d 5612 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐) ↔ ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6146, 25, 28, 19caovassd 5602 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) = (𝑏 +P (𝑒 +P 𝑑)))
6244, 25, 59caovcomd 5599 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P (𝑒 +P 𝑑)) = ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏))
6361, 62eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) = ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏))
6463breq1d 3765 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) ↔ ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6560, 64bitr4d 180 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐) ↔ ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6657, 65orbi12d 706 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)) ↔ (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
6736, 54, 663imtr4d 192 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) → ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐))))
68 ltsrprg 6635 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐)))
69683adant3 923 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐)))
70 ltsrprg 6635 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ↔ (𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒)))
71703adant2 922 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ↔ (𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒)))
72 ltsrprg 6635 . . . . . . . 8 (((𝑒 P f P) (𝑐 P 𝑑 P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
7372ancoms 255 . . . . . . 7 (((𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
74733adant1 921 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
7571, 74orbi12d 706 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐))))
7667, 69, 753imtr4d 192 . . . 4 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )))
772, 6, 10, 14, 763ecoptocl 6131 . . 3 ((x R y R z R) → (x <R y → (x <R z z <R y)))
7877rgen3 2400 . 2 x R y R z R (x <R y → (x <R z z <R y))
79 df-iso 4025 . 2 ( <R Or R ↔ ( <R Po R x R y R z R (x <R y → (x <R z z <R y))))
801, 78, 79mpbir2an 848 1 <R Or R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  cop 3370   class class class wbr 3755   Po wpo 4022   Or wor 4023  (class class class)co 5455  [cec 6040  Pcnp 6275   +P cpp 6277  <P cltp 6279   ~R cer 6280  Rcnr 6281   <R cltr 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618
This theorem is referenced by:  1ne0sr  6654  addgt0sr  6663  axpre-ltirr  6726  axpre-ltwlin  6727  axpre-lttrn  6728
  Copyright terms: Public domain W3C validator