ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsosr Structured version   GIF version

Theorem ltsosr 6508
Description: Signed real 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.)
Assertion
Ref Expression
ltsosr <R Or R

Proof of Theorem ltsosr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 f 𝑟 𝑠 𝑡 x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltposr 6507 . 2 <R Po R
2 df-nr 6471 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
3 breq1 3737 . . . . 5 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Rx <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ))
4 breq1 3737 . . . . . 6 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~Rx <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ))
54orbi1d 692 . . . . 5 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )))
63, 5imbi12d 223 . . . 4 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R = x → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )) ↔ (x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ))))
7 breq2 3738 . . . . 5 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → (x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Rx <R y))
8 breq2 3738 . . . . . 6 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y))
98orbi2d 691 . . . . 5 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ((x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y)))
107, 9imbi12d 223 . . . 4 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R = y → ((x <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )) ↔ (x <R y → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y))))
11 breq2 3738 . . . . . 6 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~Rx <R z))
12 breq1 3737 . . . . . 6 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R yz <R y))
1311, 12orbi12d 694 . . . . 5 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ((x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y) ↔ (x <R z z <R y)))
1413imbi2d 219 . . . 4 ([⟨𝑒, f⟩] ~R = z → ((x <R y → (x <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R y)) ↔ (x <R y → (x <R z z <R y))))
15 simp1l 914 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑎 P)
16 simp3r 919 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → f P)
17 addclpr 6386 . . . . . . . . 9 ((𝑎 P f P) → (𝑎 +P f) P)
1815, 16, 17syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑎 +P f) P)
19 simp2r 917 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑑 P)
20 addclpr 6386 . . . . . . . 8 (((𝑎 +P f) P 𝑑 P) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) P)
2118, 19, 20syl2anc 393 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) P)
22 simp2l 916 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑐 P)
23 addclpr 6386 . . . . . . . . 9 ((f P 𝑐 P) → (f +P 𝑐) P)
2416, 22, 23syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P 𝑐) P)
25 simp1r 915 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑏 P)
26 addclpr 6386 . . . . . . . 8 (((f +P 𝑐) P 𝑏 P) → ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P)
2724, 25, 26syl2anc 393 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P)
28 simp3l 918 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → 𝑒 P)
29 addclpr 6386 . . . . . . . . 9 ((𝑏 P 𝑒 P) → (𝑏 +P 𝑒) P)
3025, 28, 29syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P 𝑒) P)
31 addclpr 6386 . . . . . . . 8 (((𝑏 +P 𝑒) P 𝑑 P) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)
3230, 19, 31syl2anc 393 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)
33 ltsopr 6427 . . . . . . . 8 <P Or P
34 sowlin 4027 . . . . . . . 8 ((<P Or P (((𝑎 +P f) +P 𝑑) P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P)) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
3533, 34mpan 402 . . . . . . 7 ((((𝑎 +P f) +P 𝑑) P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) P) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
3621, 27, 32, 35syl3anc 1119 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) → (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
37 addclpr 6386 . . . . . . . . 9 ((𝑎 P 𝑑 P) → (𝑎 +P 𝑑) P)
3815, 19, 37syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑎 +P 𝑑) P)
39 addclpr 6386 . . . . . . . . 9 ((𝑏 P 𝑐 P) → (𝑏 +P 𝑐) P)
4025, 22, 39syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P 𝑐) P)
41 ltaprg 6449 . . . . . . . 8 (((𝑎 +P 𝑑) P (𝑏 +P 𝑐) P f P) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ (f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐))))
4238, 40, 16, 41syl3anc 1119 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ (f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐))))
43 addcomprg 6411 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
4443adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
45 addassprg 6412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
4645adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
4716, 15, 19, 44, 46caov12d 5601 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑎 +P 𝑑)) = (𝑎 +P (f +P 𝑑)))
4846, 15, 16, 19caovassd 5579 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f) +P 𝑑) = (𝑎 +P (f +P 𝑑)))
4947, 48eqtr4d 2053 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑎 +P 𝑑)) = ((𝑎 +P f) +P 𝑑))
5046, 16, 25, 22caovassd 5579 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑏) +P 𝑐) = (f +P (𝑏 +P 𝑐)))
5116, 25, 22, 44, 46caov32d 5600 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P 𝑏) +P 𝑐) = ((f +P 𝑐) +P 𝑏))
5250, 51eqtr3d 2052 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (f +P (𝑏 +P 𝑐)) = ((f +P 𝑐) +P 𝑏))
5349, 52breq12d 3747 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((f +P (𝑎 +P 𝑑))<P (f +P (𝑏 +P 𝑐)) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
5442, 53bitrd 177 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
55 ltaprg 6449 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
5655adantl 262 . . . . . . . 8 ((((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
5756, 18, 30, 19, 44caovord2d 5589 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) ↔ ((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)))
58 addclpr 6386 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 P 𝑑 P) → (𝑒 +P 𝑑) P)
5928, 19, 58syl2anc 393 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑒 +P 𝑑) P)
6056, 59, 24, 25, 44caovord2d 5589 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐) ↔ ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6146, 25, 28, 19caovassd 5579 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) = (𝑏 +P (𝑒 +P 𝑑)))
6244, 25, 59caovcomd 5576 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (𝑏 +P (𝑒 +P 𝑑)) = ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏))
6361, 62eqtrd 2050 . . . . . . . . 9 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) = ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏))
6463breq1d 3744 . . . . . . . 8 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏) ↔ ((𝑒 +P 𝑑) +P 𝑏)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6560, 64bitr4d 180 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐) ↔ ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏)))
6657, 65orbi12d 694 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)) ↔ (((𝑎 +P f) +P 𝑑)<P ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑) ((𝑏 +P 𝑒) +P 𝑑)<P ((f +P 𝑐) +P 𝑏))))
6736, 54, 663imtr4d 192 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ((𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐) → ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐))))
68 ltsrprg 6491 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐)))
69683adant3 910 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑎 +P 𝑑)<P (𝑏 +P 𝑐)))
70 ltsrprg 6491 . . . . . . 7 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ↔ (𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒)))
71703adant2 909 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R ↔ (𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒)))
72 ltsrprg 6491 . . . . . . . 8 (((𝑒 P f P) (𝑐 P 𝑑 P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
7372ancoms 255 . . . . . . 7 (((𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
74733adant1 908 . . . . . 6 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ↔ (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐)))
7571, 74orbi12d 694 . . . . 5 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R ) ↔ ((𝑎 +P f)<P (𝑏 +P 𝑒) (𝑒 +P 𝑑)<P (f +P 𝑐))))
7667, 69, 753imtr4d 192 . . . 4 (((𝑎 P 𝑏 P) (𝑐 P 𝑑 P) (𝑒 P f P)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~R <R [⟨𝑒, f⟩] ~R [⟨𝑒, f⟩] ~R <R [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~R )))
772, 6, 10, 14, 763ecoptocl 6102 . . 3 ((x R y R z R) → (x <R y → (x <R z z <R y)))
7877rgen3 2380 . 2 x R y R z R (x <R y → (x <R z z <R y))
79 df-iso 4004 . 2 ( <R Or R ↔ ( <R Po R x R y R z R (x <R y → (x <R z z <R y))))
801, 78, 79mpbir2an 835 1 <R Or R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   w3a 871   = wceq 1226   wcel 1370  wral 2280  cop 3349   class class class wbr 3734   Po wpo 4001   Or wor 4002  (class class class)co 5432  [cec 6011  Pcnp 6145   +P cpp 6147  <P cltp 6149   ~R cer 6150  Rcnr 6151   <R cltr 6157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-2o 5913  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160  df-lti 6161  df-plpq 6197  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-plqqs 6202  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-enq0 6273  df-nq0 6274  df-0nq0 6275  df-plq0 6276  df-mq0 6277  df-inp 6314  df-iplp 6316  df-iltp 6318  df-enr 6470  df-nr 6471  df-ltr 6474
This theorem is referenced by:  1ne0sr  6510  addgt0sr  6519  axpre-ltirr  6575  axpre-ltwlin  6576  axpre-lttrn  6577
  Copyright terms: Public domain W3C validator