Theorem ltresr 6696

Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
ltresr	⊢ (⟨A, 0R⟩ <ℝ ⟨B, 0R⟩ ↔ A <R B)

Proof of Theorem ltresr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelre 6690	. . . 4 ⊢ <ℝ ⊆ (ℝ × ℝ)
2	1	brel 4335	. . 3 ⊢ (⟨A, 0R⟩ <ℝ ⟨B, 0R⟩ → (⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨B, 0R⟩ ∈ ℝ))
3		opelreal 6686	. . . 4 ⊢ (⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ A ∈ R)
4		opelreal 6686	. . . 4 ⊢ (⟨B, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ B ∈ R)
5	3, 4	anbi12i 433	. . 3 ⊢ ((⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨B, 0R⟩ ∈ ℝ) ↔ (A ∈ R ∧ B ∈ R))
6	2, 5	sylib 127	. 2 ⊢ (⟨A, 0R⟩ <ℝ ⟨B, 0R⟩ → (A ∈ R ∧ B ∈ R))
7		ltrelsr 6626	. . 3 ⊢ <R ⊆ (R × R)
8	7	brel 4335	. 2 ⊢ (A <R B → (A ∈ R ∧ B ∈ R))
9		eleq1 2097	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ⟨A, 0R⟩ → (x ∈ ℝ ↔ ⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ))
10	9	anbi1d 438	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ⟨A, 0R⟩ → ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ↔ (⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)))
11		eqeq1 2043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = ⟨A, 0R⟩ → (x = ⟨z, 0R⟩ ↔ ⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩))
12	11	anbi1d 438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = ⟨A, 0R⟩ → ((x = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ↔ (⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩)))
13	12	anbi1d 438	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ⟨A, 0R⟩ → (((x = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w) ↔ ((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w)))
14	13	2exbidv 1745	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ⟨A, 0R⟩ → (∃z∃w((x = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w) ↔ ∃z∃w((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w)))
15	10, 14	anbi12d 442	. . . . . . 7 ⊢ (x = ⟨A, 0R⟩ → (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ ∃z∃w((x = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w)) ↔ ((⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ ∃z∃w((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w))))
16		eleq1 2097	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = ⟨B, 0R⟩ → (y ∈ ℝ ↔ ⟨B, 0R⟩ ∈ ℝ))
17	16	anbi2d 437	. . . . . . . 8 ⊢ (y = ⟨B, 0R⟩ → ((⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ↔ (⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨B, 0R⟩ ∈ ℝ)))
18		eqeq1 2043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = ⟨B, 0R⟩ → (y = ⟨w, 0R⟩ ↔ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩))
19	18	anbi2d 437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = ⟨B, 0R⟩ → ((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ↔ (⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩)))
20	19	anbi1d 438	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = ⟨B, 0R⟩ → (((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w) ↔ ((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w)))
21	20	2exbidv 1745	. . . . . . . 8 ⊢ (y = ⟨B, 0R⟩ → (∃z∃w((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w) ↔ ∃z∃w((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w)))
22	17, 21	anbi12d 442	. . . . . . 7 ⊢ (y = ⟨B, 0R⟩ → (((⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ ∃z∃w((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w)) ↔ ((⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨B, 0R⟩ ∈ ℝ) ∧ ∃z∃w((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w))))
23		df-lt 6684	. . . . . . 7 ⊢ <ℝ = {⟨x, y⟩ ∣ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ ∃z∃w((x = ⟨z, 0R⟩ ∧ y = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w))}
24	15, 22, 23	brabg 3997	. . . . . 6 ⊢ ((⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨B, 0R⟩ ∈ ℝ) → (⟨A, 0R⟩ <ℝ ⟨B, 0R⟩ ↔ ((⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨B, 0R⟩ ∈ ℝ) ∧ ∃z∃w((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w))))
25	24	bianabs 543	. . . . 5 ⊢ ((⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨B, 0R⟩ ∈ ℝ) → (⟨A, 0R⟩ <ℝ ⟨B, 0R⟩ ↔ ∃z∃w((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w)))
26		vex 2554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ z ∈ V
27	26	eqresr 6693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨z, 0R⟩ = ⟨A, 0R⟩ ↔ z = A)
28		eqcom 2039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ↔ ⟨z, 0R⟩ = ⟨A, 0R⟩)
29		eqcom 2039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A = z ↔ z = A)
30	27, 28, 29	3bitr4i 201	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ↔ A = z)
31		vex 2554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ w ∈ V
32	31	eqresr 6693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = ⟨B, 0R⟩ ↔ w = B)
33		eqcom 2039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩ ↔ ⟨w, 0R⟩ = ⟨B, 0R⟩)
34		eqcom 2039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B = w ↔ w = B)
35	32, 33, 34	3bitr4i 201	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩ ↔ B = w)
36	30, 35	anbi12i 433	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) ↔ (A = z ∧ B = w))
37	26, 31	opth2 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨A, B⟩ = ⟨z, w⟩ ↔ (A = z ∧ B = w))
38	36, 37	bitr4i 176	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) ↔ ⟨A, B⟩ = ⟨z, w⟩)
39	38	anbi1i 431	. . . . . 6 ⊢ (((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w) ↔ (⟨A, B⟩ = ⟨z, w⟩ ∧ z <R w))
40	39	2exbii 1494	. . . . 5 ⊢ (∃z∃w((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ∧ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) ∧ z <R w) ↔ ∃z∃w(⟨A, B⟩ = ⟨z, w⟩ ∧ z <R w))
41	25, 40	syl6bb 185	. . . 4 ⊢ ((⟨A, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨B, 0R⟩ ∈ ℝ) → (⟨A, 0R⟩ <ℝ ⟨B, 0R⟩ ↔ ∃z∃w(⟨A, B⟩ = ⟨z, w⟩ ∧ z <R w)))
42	3, 4, 41	syl2anbr 276	. . 3 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → (⟨A, 0R⟩ <ℝ ⟨B, 0R⟩ ↔ ∃z∃w(⟨A, B⟩ = ⟨z, w⟩ ∧ z <R w)))
43		breq12 3760	. . . 4 ⊢ ((z = A ∧ w = B) → (z <R w ↔ A <R B))
44	43	copsex2g 3974	. . 3 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → (∃z∃w(⟨A, B⟩ = ⟨z, w⟩ ∧ z <R w) ↔ A <R B))
45	42, 44	bitrd 177	. 2 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → (⟨A, 0R⟩ <ℝ ⟨B, 0R⟩ ↔ A <R B))
46	6, 8, 45	pm5.21nii 619	1 ⊢ (⟨A, 0R⟩ <ℝ ⟨B, 0R⟩ ↔ A <R B)

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  Rcnr 6281  0_Rc0r 6282   <_R cltr 6287  ℝcr 6670   <_ℝ cltrr 6675

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-r 6681  df-lt 6684

This theorem is referenced by:  ltresr2  6697  ax0lt1  6720  axprecex  6724  axpre-ltirr  6726  axpre-ltwlin  6727  axpre-lttrn  6728  axpre-apti  6729  axpre-ltadd  6730  axpre-mulgt0  6731  axpre-mulext  6732  axarch  6733  ax-0lt1  6749