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Theorem ltresr 6716
Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)
Assertion
Ref Expression
ltresr (⟨A, 0R⟩ <B, 0R⟩ ↔ A <R B)

Proof of Theorem ltresr
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelre 6710 . . . 4 < ⊆ (ℝ × ℝ)
21brel 4335 . . 3 (⟨A, 0R⟩ <B, 0R⟩ → (⟨A, 0RB, 0R ℝ))
3 opelreal 6706 . . . 4 (⟨A, 0R ℝ ↔ A R)
4 opelreal 6706 . . . 4 (⟨B, 0R ℝ ↔ B R)
53, 4anbi12i 433 . . 3 ((⟨A, 0RB, 0R ℝ) ↔ (A R B R))
62, 5sylib 127 . 2 (⟨A, 0R⟩ <B, 0R⟩ → (A R B R))
7 ltrelsr 6646 . . 3 <R ⊆ (R × R)
87brel 4335 . 2 (A <R B → (A R B R))
9 eleq1 2097 . . . . . . . . 9 (x = ⟨A, 0R⟩ → (x ℝ ↔ ⟨A, 0R ℝ))
109anbi1d 438 . . . . . . . 8 (x = ⟨A, 0R⟩ → ((x y ℝ) ↔ (⟨A, 0R y ℝ)))
11 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . 11 (x = ⟨A, 0R⟩ → (x = ⟨z, 0R⟩ ↔ ⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩))
1211anbi1d 438 . . . . . . . . . 10 (x = ⟨A, 0R⟩ → ((x = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) ↔ (⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩)))
1312anbi1d 438 . . . . . . . . 9 (x = ⟨A, 0R⟩ → (((x = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) z <R w) ↔ ((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) z <R w)))
14132exbidv 1745 . . . . . . . 8 (x = ⟨A, 0R⟩ → (zw((x = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) z <R w) ↔ zw((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) z <R w)))
1510, 14anbi12d 442 . . . . . . 7 (x = ⟨A, 0R⟩ → (((x y ℝ) zw((x = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) z <R w)) ↔ ((⟨A, 0R y ℝ) zw((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) z <R w))))
16 eleq1 2097 . . . . . . . . 9 (y = ⟨B, 0R⟩ → (y ℝ ↔ ⟨B, 0R ℝ))
1716anbi2d 437 . . . . . . . 8 (y = ⟨B, 0R⟩ → ((⟨A, 0R y ℝ) ↔ (⟨A, 0RB, 0R ℝ)))
18 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . 11 (y = ⟨B, 0R⟩ → (y = ⟨w, 0R⟩ ↔ ⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩))
1918anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (y = ⟨B, 0R⟩ → ((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) ↔ (⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0RB, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩)))
2019anbi1d 438 . . . . . . . . 9 (y = ⟨B, 0R⟩ → (((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) z <R w) ↔ ((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0RB, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) z <R w)))
21202exbidv 1745 . . . . . . . 8 (y = ⟨B, 0R⟩ → (zw((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) z <R w) ↔ zw((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0RB, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) z <R w)))
2217, 21anbi12d 442 . . . . . . 7 (y = ⟨B, 0R⟩ → (((⟨A, 0R y ℝ) zw((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) z <R w)) ↔ ((⟨A, 0RB, 0R ℝ) zw((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0RB, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) z <R w))))
23 df-lt 6704 . . . . . . 7 < = {⟨x, y⟩ ∣ ((x y ℝ) zw((x = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) z <R w))}
2415, 22, 23brabg 3997 . . . . . 6 ((⟨A, 0RB, 0R ℝ) → (⟨A, 0R⟩ <B, 0R⟩ ↔ ((⟨A, 0RB, 0R ℝ) zw((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0RB, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) z <R w))))
2524bianabs 543 . . . . 5 ((⟨A, 0RB, 0R ℝ) → (⟨A, 0R⟩ <B, 0R⟩ ↔ zw((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0RB, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) z <R w)))
26 vex 2554 . . . . . . . . . . 11 z V
2726eqresr 6713 . . . . . . . . . 10 (⟨z, 0R⟩ = ⟨A, 0R⟩ ↔ z = A)
28 eqcom 2039 . . . . . . . . . 10 (⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ↔ ⟨z, 0R⟩ = ⟨A, 0R⟩)
29 eqcom 2039 . . . . . . . . . 10 (A = zz = A)
3027, 28, 293bitr4i 201 . . . . . . . . 9 (⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0R⟩ ↔ A = z)
31 vex 2554 . . . . . . . . . . 11 w V
3231eqresr 6713 . . . . . . . . . 10 (⟨w, 0R⟩ = ⟨B, 0R⟩ ↔ w = B)
33 eqcom 2039 . . . . . . . . . 10 (⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩ ↔ ⟨w, 0R⟩ = ⟨B, 0R⟩)
34 eqcom 2039 . . . . . . . . . 10 (B = ww = B)
3532, 33, 343bitr4i 201 . . . . . . . . 9 (⟨B, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩ ↔ B = w)
3630, 35anbi12i 433 . . . . . . . 8 ((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0RB, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) ↔ (A = z B = w))
3726, 31opth2 3968 . . . . . . . 8 (⟨A, B⟩ = ⟨z, w⟩ ↔ (A = z B = w))
3836, 37bitr4i 176 . . . . . . 7 ((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0RB, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) ↔ ⟨A, B⟩ = ⟨z, w⟩)
3938anbi1i 431 . . . . . 6 (((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0RB, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) z <R w) ↔ (⟨A, B⟩ = ⟨z, w z <R w))
40392exbii 1494 . . . . 5 (zw((⟨A, 0R⟩ = ⟨z, 0RB, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩) z <R w) ↔ zw(⟨A, B⟩ = ⟨z, w z <R w))
4125, 40syl6bb 185 . . . 4 ((⟨A, 0RB, 0R ℝ) → (⟨A, 0R⟩ <B, 0R⟩ ↔ zw(⟨A, B⟩ = ⟨z, w z <R w)))
423, 4, 41syl2anbr 276 . . 3 ((A R B R) → (⟨A, 0R⟩ <B, 0R⟩ ↔ zw(⟨A, B⟩ = ⟨z, w z <R w)))
43 breq12 3760 . . . 4 ((z = A w = B) → (z <R wA <R B))
4443copsex2g 3974 . . 3 ((A R B R) → (zw(⟨A, B⟩ = ⟨z, w z <R w) ↔ A <R B))
4542, 44bitrd 177 . 2 ((A R B R) → (⟨A, 0R⟩ <B, 0R⟩ ↔ A <R B))
466, 8, 45pm5.21nii 619 1 (⟨A, 0R⟩ <B, 0R⟩ ↔ A <R B)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  Rcnr 6281  0Rc0r 6282   <R cltr 6287  cr 6690   < cltrr 6695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-r 6701  df-lt 6704
This theorem is referenced by:  ltresr2  6717  ax0lt1  6740  axprecex  6744  axpre-ltirr  6746  axpre-ltwlin  6747  axpre-lttrn  6748  axpre-apti  6749  axpre-ltadd  6750  axpre-mulgt0  6751  axpre-mulext  6752  axarch  6753  ax-0lt1  6769
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