ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltirr GIF version

Theorem axpre-ltirr 6954
Description: Real number less-than is irreflexive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltirr 6994. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltirr (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem axpre-ltirr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6903 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2 df-rex 2312 . . 3 (∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
31, 2bitri 173 . 2 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥(𝑥R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
4 id 19 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
54, 4breq12d 3777 . . 3 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ 𝐴 < 𝐴))
65notbid 592 . 2 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
7 ltsosr 6847 . . . . 5 <R Or R
8 ltrelsr 6821 . . . . 5 <R ⊆ (R × R)
97, 8soirri 4719 . . . 4 ¬ 𝑥 <R 𝑥
10 ltresr 6913 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ 𝑥 <R 𝑥)
119, 10mtbir 596 . . 3 ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R
1211a1i 9 . 2 (𝑥R → ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩)
133, 6, 12gencl 2586 1 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wex 1381  wcel 1393  wrex 2307  cop 3378   class class class wbr 3764  Rcnr 6393  0Rc0r 6394   <R cltr 6399  cr 6886   < cltrr 6891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-r 6897  df-lt 6900
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator