ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltirr Structured version   GIF version

Theorem axpre-ltirr 6571
Description: Real number less-than is irreflexive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltirr 6599. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltirr (A ℝ → ¬ A < A)

Proof of Theorem axpre-ltirr
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6536 . . 3 (A ℝ ↔ x Rx, 0R⟩ = A)
2 df-rex 2281 . . 3 (x Rx, 0R⟩ = Ax(x R x, 0R⟩ = A))
31, 2bitri 173 . 2 (A ℝ ↔ x(x R x, 0R⟩ = A))
4 id 19 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ = A → ⟨x, 0R⟩ = A)
54, 4breq12d 3740 . . 3 (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ <x, 0R⟩ ↔ A < A))
65notbid 576 . 2 (⟨x, 0R⟩ = A → (¬ ⟨x, 0R⟩ <x, 0R⟩ ↔ ¬ A < A))
7 ltsosr 6502 . . . . 5 <R Or R
8 ltrelsr 6476 . . . . 5 <R ⊆ (R × R)
97, 8soirri 4634 . . . 4 ¬ x <R x
10 ltresr 6545 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ <x, 0R⟩ ↔ x <R x)
119, 10mtbir 580 . . 3 ¬ ⟨x, 0R⟩ <x, 0R
1211a1i 9 . 2 (x R → ¬ ⟨x, 0R⟩ <x, 0R⟩)
133, 6, 12gencl 2554 1 (A ℝ → ¬ A < A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   = wceq 1223  wex 1354   wcel 1366  wrex 2276  cop 3342   class class class wbr 3727  Rcnr 6143  0Rc0r 6144   <R cltr 6149  cr 6519   < cltrr 6524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-i1p 6307  df-iplp 6308  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-ltr 6468  df-0r 6469  df-r 6530  df-lt 6533
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator