Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axcnre Structured version   GIF version

Theorem axcnre 6765
 Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 6794. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre (A ℂ → x y A = (x + (i · y)))
Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem axcnre
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-c 6717 . 2 ℂ = (R × R)
2 eqeq1 2043 . . 3 (⟨z, w⟩ = A → (⟨z, w⟩ = (x + (i · y)) ↔ A = (x + (i · y))))
322rexbidv 2343 . 2 (⟨z, w⟩ = A → (x y ℝ ⟨z, w⟩ = (x + (i · y)) ↔ x y A = (x + (i · y))))
4 opelreal 6726 . . . . . 6 (⟨z, 0R ℝ ↔ z R)
5 opelreal 6726 . . . . . 6 (⟨w, 0R ℝ ↔ w R)
64, 5anbi12i 433 . . . . 5 ((⟨z, 0Rw, 0R ℝ) ↔ (z R w R))
76biimpri 124 . . . 4 ((z R w R) → (⟨z, 0Rw, 0R ℝ))
8 df-i 6720 . . . . . . . . 9 i = ⟨0R, 1R
98oveq1i 5465 . . . . . . . 8 (i · ⟨w, 0R⟩) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨w, 0R⟩)
10 0r 6678 . . . . . . . . . 10 0R R
11 1sr 6679 . . . . . . . . . . 11 1R R
12 mulcnsr 6732 . . . . . . . . . . 11 (((0R R 1R R) (w R 0R R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨w, 0R⟩) = ⟨((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R))⟩)
1310, 11, 12mpanl12 412 . . . . . . . . . 10 ((w R 0R R) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨w, 0R⟩) = ⟨((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R))⟩)
1410, 13mpan2 401 . . . . . . . . 9 (w R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨w, 0R⟩) = ⟨((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R))⟩)
15 mulcomsrg 6685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0R R w R) → (0R ·R w) = (w ·R 0R))
1610, 15mpan 400 . . . . . . . . . . . . 13 (w R → (0R ·R w) = (w ·R 0R))
17 00sr 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (w R → (w ·R 0R) = 0R)
1816, 17eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . 12 (w R → (0R ·R w) = 0R)
1918oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11 (w R → ((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))))
20 00sr 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1R R → (1R ·R 0R) = 0R)
2111, 20ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1R ·R 0R) = 0R
2221oveq2i 5466 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ·R (1R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
23 m1r 6680 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1R R
24 00sr 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1R R → (-1R ·R 0R) = 0R)
2523, 24ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ·R 0R) = 0R
2622, 25eqtri 2057 . . . . . . . . . . . . 13 (-1R ·R (1R ·R 0R)) = 0R
2726oveq2i 5466 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R 0R)
28 0idsr 6695 . . . . . . . . . . . . 13 (0R R → (0R +R 0R) = 0R)
2910, 28ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R 0R) = 0R
3027, 29eqtri 2057 . . . . . . . . . . 11 (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R
3119, 30syl6eq 2085 . . . . . . . . . 10 (w R → ((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R)
32 mulcomsrg 6685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1R R w R) → (1R ·R w) = (w ·R 1R))
3311, 32mpan 400 . . . . . . . . . . . . 13 (w R → (1R ·R w) = (w ·R 1R))
34 1idsr 6696 . . . . . . . . . . . . 13 (w R → (w ·R 1R) = w)
3533, 34eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . 12 (w R → (1R ·R w) = w)
3635oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11 (w R → ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R)) = (w +R (0R ·R 0R)))
37 00sr 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (0R R → (0R ·R 0R) = 0R)
3810, 37ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . 13 (0R ·R 0R) = 0R
3938oveq2i 5466 . . . . . . . . . . . 12 (w +R (0R ·R 0R)) = (w +R 0R)
40 0idsr 6695 . . . . . . . . . . . 12 (w R → (w +R 0R) = w)
4139, 40syl5eq 2081 . . . . . . . . . . 11 (w R → (w +R (0R ·R 0R)) = w)
4236, 41eqtrd 2069 . . . . . . . . . 10 (w R → ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R)) = w)
4331, 42opeq12d 3548 . . . . . . . . 9 (w R → ⟨((0R ·R w) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R w) +R (0R ·R 0R))⟩ = ⟨0R, w⟩)
4414, 43eqtrd 2069 . . . . . . . 8 (w R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨w, 0R⟩) = ⟨0R, w⟩)
459, 44syl5eq 2081 . . . . . . 7 (w R → (i · ⟨w, 0R⟩) = ⟨0R, w⟩)
4645oveq2d 5471 . . . . . 6 (w R → (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)) = (⟨z, 0R⟩ + ⟨0R, w⟩))
4746adantl 262 . . . . 5 ((z R w R) → (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)) = (⟨z, 0R⟩ + ⟨0R, w⟩))
48 addcnsr 6731 . . . . . . 7 (((z R 0R R) (0R R w R)) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨0R, w⟩) = ⟨(z +R 0R), (0R +R w)⟩)
4910, 48mpanl2 411 . . . . . 6 ((z R (0R R w R)) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨0R, w⟩) = ⟨(z +R 0R), (0R +R w)⟩)
5010, 49mpanr1 413 . . . . 5 ((z R w R) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨0R, w⟩) = ⟨(z +R 0R), (0R +R w)⟩)
51 0idsr 6695 . . . . . 6 (z R → (z +R 0R) = z)
52 addcomsrg 6683 . . . . . . . 8 ((0R R w R) → (0R +R w) = (w +R 0R))
5310, 52mpan 400 . . . . . . 7 (w R → (0R +R w) = (w +R 0R))
5453, 40eqtrd 2069 . . . . . 6 (w R → (0R +R w) = w)
55 opeq12 3542 . . . . . 6 (((z +R 0R) = z (0R +R w) = w) → ⟨(z +R 0R), (0R +R w)⟩ = ⟨z, w⟩)
5651, 54, 55syl2an 273 . . . . 5 ((z R w R) → ⟨(z +R 0R), (0R +R w)⟩ = ⟨z, w⟩)
5747, 50, 563eqtrrd 2074 . . . 4 ((z R w R) → ⟨z, w⟩ = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)))
58 vex 2554 . . . . . 6 z V
59 opexg 3955 . . . . . 6 ((z V 0R R) → ⟨z, 0R V)
6058, 10, 59mp2an 402 . . . . 5 z, 0R V
61 vex 2554 . . . . . 6 w V
62 opexg 3955 . . . . . 6 ((w V 0R R) → ⟨w, 0R V)
6361, 10, 62mp2an 402 . . . . 5 w, 0R V
64 eleq1 2097 . . . . . . 7 (x = ⟨z, 0R⟩ → (x ℝ ↔ ⟨z, 0R ℝ))
65 eleq1 2097 . . . . . . 7 (y = ⟨w, 0R⟩ → (y ℝ ↔ ⟨w, 0R ℝ))
6664, 65bi2anan9 538 . . . . . 6 ((x = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) → ((x y ℝ) ↔ (⟨z, 0Rw, 0R ℝ)))
67 oveq1 5462 . . . . . . . 8 (x = ⟨z, 0R⟩ → (x + (i · y)) = (⟨z, 0R⟩ + (i · y)))
68 oveq2 5463 . . . . . . . . 9 (y = ⟨w, 0R⟩ → (i · y) = (i · ⟨w, 0R⟩))
6968oveq2d 5471 . . . . . . . 8 (y = ⟨w, 0R⟩ → (⟨z, 0R⟩ + (i · y)) = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)))
7067, 69sylan9eq 2089 . . . . . . 7 ((x = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) → (x + (i · y)) = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)))
7170eqeq2d 2048 . . . . . 6 ((x = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) → (⟨z, w⟩ = (x + (i · y)) ↔ ⟨z, w⟩ = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩))))
7266, 71anbi12d 442 . . . . 5 ((x = ⟨z, 0R y = ⟨w, 0R⟩) → (((x y ℝ) z, w⟩ = (x + (i · y))) ↔ ((⟨z, 0Rw, 0R ℝ) z, w⟩ = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩)))))
7360, 63, 72spc2ev 2642 . . . 4 (((⟨z, 0Rw, 0R ℝ) z, w⟩ = (⟨z, 0R⟩ + (i · ⟨w, 0R⟩))) → xy((x y ℝ) z, w⟩ = (x + (i · y))))
747, 57, 73syl2anc 391 . . 3 ((z R w R) → xy((x y ℝ) z, w⟩ = (x + (i · y))))
75 r2ex 2338 . . 3 (x y ℝ ⟨z, w⟩ = (x + (i · y)) ↔ xy((x y ℝ) z, w⟩ = (x + (i · y))))
7674, 75sylibr 137 . 2 ((z R w R) → x y ℝ ⟨z, w⟩ = (x + (i · y)))
771, 3, 76optocl 4359 1 (A ℂ → x y A = (x + (i · y)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  Vcvv 2551  ⟨cop 3370  (class class class)co 5455  Rcnr 6281  0Rc0r 6282  1Rc1r 6283  -1Rcm1r 6284   +R cplr 6285   ·R cmr 6286  ℂcc 6709  ℝcr 6710  ici 6713   + caddc 6714   · cmul 6716 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-imp 6452  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656  df-mr 6657  df-0r 6659  df-1r 6660  df-m1r 6661  df-c 6717  df-i 6720  df-r 6721  df-add 6722  df-mul 6723 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator