ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsr Structured version   GIF version

Theorem mulcnsr 6692
Description: Multiplication of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsr (((A R B R) (𝐶 R 𝐷 R)) → (⟨A, B⟩ · ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((A ·R 𝐶) +R (-1R ·R (B ·R 𝐷))), ((B ·R 𝐶) +R (A ·R 𝐷))⟩)

Proof of Theorem mulcnsr
Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclsr 6642 . . . . 5 ((A R 𝐶 R) → (A ·R 𝐶) R)
21ad2ant2r 478 . . . 4 (((A R B R) (𝐶 R 𝐷 R)) → (A ·R 𝐶) R)
3 m1r 6640 . . . . 5 -1R R
4 mulclsr 6642 . . . . . 6 ((B R 𝐷 R) → (B ·R 𝐷) R)
54ad2ant2l 477 . . . . 5 (((A R B R) (𝐶 R 𝐷 R)) → (B ·R 𝐷) R)
6 mulclsr 6642 . . . . 5 ((-1R R (B ·R 𝐷) R) → (-1R ·R (B ·R 𝐷)) R)
73, 5, 6sylancr 393 . . . 4 (((A R B R) (𝐶 R 𝐷 R)) → (-1R ·R (B ·R 𝐷)) R)
8 addclsr 6641 . . . 4 (((A ·R 𝐶) R (-1R ·R (B ·R 𝐷)) R) → ((A ·R 𝐶) +R (-1R ·R (B ·R 𝐷))) R)
92, 7, 8syl2anc 391 . . 3 (((A R B R) (𝐶 R 𝐷 R)) → ((A ·R 𝐶) +R (-1R ·R (B ·R 𝐷))) R)
10 mulclsr 6642 . . . . 5 ((B R 𝐶 R) → (B ·R 𝐶) R)
1110ad2ant2lr 479 . . . 4 (((A R B R) (𝐶 R 𝐷 R)) → (B ·R 𝐶) R)
12 mulclsr 6642 . . . . 5 ((A R 𝐷 R) → (A ·R 𝐷) R)
1312ad2ant2rl 480 . . . 4 (((A R B R) (𝐶 R 𝐷 R)) → (A ·R 𝐷) R)
14 addclsr 6641 . . . 4 (((B ·R 𝐶) R (A ·R 𝐷) R) → ((B ·R 𝐶) +R (A ·R 𝐷)) R)
1511, 13, 14syl2anc 391 . . 3 (((A R B R) (𝐶 R 𝐷 R)) → ((B ·R 𝐶) +R (A ·R 𝐷)) R)
16 opelxpi 4319 . . 3 ((((A ·R 𝐶) +R (-1R ·R (B ·R 𝐷))) R ((B ·R 𝐶) +R (A ·R 𝐷)) R) → ⟨((A ·R 𝐶) +R (-1R ·R (B ·R 𝐷))), ((B ·R 𝐶) +R (A ·R 𝐷))⟩ (R × R))
179, 15, 16syl2anc 391 . 2 (((A R B R) (𝐶 R 𝐷 R)) → ⟨((A ·R 𝐶) +R (-1R ·R (B ·R 𝐷))), ((B ·R 𝐶) +R (A ·R 𝐷))⟩ (R × R))
18 simpll 481 . . . . 5 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → w = A)
19 simprl 483 . . . . 5 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → u = 𝐶)
2018, 19oveq12d 5473 . . . 4 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → (w ·R u) = (A ·R 𝐶))
21 simplr 482 . . . . . 6 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → v = B)
22 simprr 484 . . . . . 6 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → f = 𝐷)
2321, 22oveq12d 5473 . . . . 5 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → (v ·R f) = (B ·R 𝐷))
2423oveq2d 5471 . . . 4 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → (-1R ·R (v ·R f)) = (-1R ·R (B ·R 𝐷)))
2520, 24oveq12d 5473 . . 3 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → ((w ·R u) +R (-1R ·R (v ·R f))) = ((A ·R 𝐶) +R (-1R ·R (B ·R 𝐷))))
2621, 19oveq12d 5473 . . . 4 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → (v ·R u) = (B ·R 𝐶))
2718, 22oveq12d 5473 . . . 4 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → (w ·R f) = (A ·R 𝐷))
2826, 27oveq12d 5473 . . 3 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → ((v ·R u) +R (w ·R f)) = ((B ·R 𝐶) +R (A ·R 𝐷)))
2925, 28opeq12d 3548 . 2 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → ⟨((w ·R u) +R (-1R ·R (v ·R f))), ((v ·R u) +R (w ·R f))⟩ = ⟨((A ·R 𝐶) +R (-1R ·R (B ·R 𝐷))), ((B ·R 𝐶) +R (A ·R 𝐷))⟩)
30 df-mul 6683 . . 3 · = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x y ℂ) wvuf((x = ⟨w, v y = ⟨u, f⟩) z = ⟨((w ·R u) +R (-1R ·R (v ·R f))), ((v ·R u) +R (w ·R f))⟩))}
31 df-c 6677 . . . . . . 7 ℂ = (R × R)
3231eleq2i 2101 . . . . . 6 (x ℂ ↔ x (R × R))
3331eleq2i 2101 . . . . . 6 (y ℂ ↔ y (R × R))
3432, 33anbi12i 433 . . . . 5 ((x y ℂ) ↔ (x (R × R) y (R × R)))
3534anbi1i 431 . . . 4 (((x y ℂ) wvuf((x = ⟨w, v y = ⟨u, f⟩) z = ⟨((w ·R u) +R (-1R ·R (v ·R f))), ((v ·R u) +R (w ·R f))⟩)) ↔ ((x (R × R) y (R × R)) wvuf((x = ⟨w, v y = ⟨u, f⟩) z = ⟨((w ·R u) +R (-1R ·R (v ·R f))), ((v ·R u) +R (w ·R f))⟩)))
3635oprabbii 5502 . . 3 {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x y ℂ) wvuf((x = ⟨w, v y = ⟨u, f⟩) z = ⟨((w ·R u) +R (-1R ·R (v ·R f))), ((v ·R u) +R (w ·R f))⟩))} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x (R × R) y (R × R)) wvuf((x = ⟨w, v y = ⟨u, f⟩) z = ⟨((w ·R u) +R (-1R ·R (v ·R f))), ((v ·R u) +R (w ·R f))⟩))}
3730, 36eqtri 2057 . 2 · = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x (R × R) y (R × R)) wvuf((x = ⟨w, v y = ⟨u, f⟩) z = ⟨((w ·R u) +R (-1R ·R (v ·R f))), ((v ·R u) +R (w ·R f))⟩))}
3817, 29, 37ovi3 5579 1 (((A R B R) (𝐶 R 𝐷 R)) → (⟨A, B⟩ · ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((A ·R 𝐶) +R (-1R ·R (B ·R 𝐷))), ((B ·R 𝐶) +R (A ·R 𝐷))⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  cop 3370   × cxp 4286  (class class class)co 5455  {coprab 5456  Rcnr 6281  -1Rcm1r 6284   +R cplr 6285   ·R cmr 6286  cc 6669   · cmul 6676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-enr 6614  df-nr 6615  df-plr 6616  df-mr 6617  df-m1r 6621  df-c 6677  df-mul 6683
This theorem is referenced by:  mulresr  6695  mulcnsrec  6700  axmulcl  6712  axi2m1  6719  axcnre  6725
  Copyright terms: Public domain W3C validator