Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomsrg GIF version

Theorem mulcomsrg 6842
 Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulcomsrg ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))

Proof of Theorem mulcomsrg
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6812 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 mulsrpr 6831 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3 mulsrpr 6831 . 2 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑥P𝑦P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)), ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))⟩] ~R )
4 mulcomprg 6678 . . . 4 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥))
54ad2ant2r 478 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥))
6 mulcomprg 6678 . . . 4 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦))
76ad2ant2l 477 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦))
85, 7oveq12d 5530 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) = ((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)))
9 mulcomprg 6678 . . . . 5 ((𝑥P𝑤P) → (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥))
109ad2ant2rl 480 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥))
11 mulcomprg 6678 . . . . 5 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦))
1211ad2ant2lr 479 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦))
1310, 12oveq12d 5530 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)))
14 mulclpr 6670 . . . . . 6 ((𝑤P𝑥P) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
1514ancoms 255 . . . . 5 ((𝑥P𝑤P) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
1615ad2ant2rl 480 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
17 mulclpr 6670 . . . . . 6 ((𝑧P𝑦P) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
1817ancoms 255 . . . . 5 ((𝑦P𝑧P) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
1918ad2ant2lr 479 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
20 addcomprg 6676 . . . 4 (((𝑤 ·P 𝑥) ∈ P ∧ (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P) → ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
2116, 19, 20syl2anc 391 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
2213, 21eqtrd 2072 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
231, 2, 3, 8, 22ecovicom 6214 1 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  (class class class)co 5512  Pcnp 6389   +P cpp 6391   ·P cmp 6392   ~R cer 6394  Rcnr 6395   ·R cmr 6400 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-iplp 6566  df-imp 6567  df-enr 6811  df-nr 6812  df-mr 6814 This theorem is referenced by:  mulresr  6914  axmulcom  6945  axmulass  6947  axcnre  6955
 Copyright terms: Public domain W3C validator