ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomsrg Structured version   GIF version

Theorem mulcomsrg 6645
Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulcomsrg ((A R B R) → (A ·R B) = (B ·R A))

Proof of Theorem mulcomsrg
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6615 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 mulsrpr 6634 . 2 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R )
3 mulsrpr 6634 . 2 (((z P w P) (x P y P)) → ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨x, y⟩] ~R ) = [⟨((z ·P x) +P (w ·P y)), ((z ·P y) +P (w ·P x))⟩] ~R )
4 mulcomprg 6554 . . . 4 ((x P z P) → (x ·P z) = (z ·P x))
54ad2ant2r 478 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → (x ·P z) = (z ·P x))
6 mulcomprg 6554 . . . 4 ((y P w P) → (y ·P w) = (w ·P y))
76ad2ant2l 477 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → (y ·P w) = (w ·P y))
85, 7oveq12d 5473 . 2 (((x P y P) (z P w P)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) = ((z ·P x) +P (w ·P y)))
9 mulcomprg 6554 . . . . 5 ((x P w P) → (x ·P w) = (w ·P x))
109ad2ant2rl 480 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (x ·P w) = (w ·P x))
11 mulcomprg 6554 . . . . 5 ((y P z P) → (y ·P z) = (z ·P y))
1211ad2ant2lr 479 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (y ·P z) = (z ·P y))
1310, 12oveq12d 5473 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) = ((w ·P x) +P (z ·P y)))
14 mulclpr 6551 . . . . . 6 ((w P x P) → (w ·P x) P)
1514ancoms 255 . . . . 5 ((x P w P) → (w ·P x) P)
1615ad2ant2rl 480 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (w ·P x) P)
17 mulclpr 6551 . . . . . 6 ((z P y P) → (z ·P y) P)
1817ancoms 255 . . . . 5 ((y P z P) → (z ·P y) P)
1918ad2ant2lr 479 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (z ·P y) P)
20 addcomprg 6552 . . . 4 (((w ·P x) P (z ·P y) P) → ((w ·P x) +P (z ·P y)) = ((z ·P y) +P (w ·P x)))
2116, 19, 20syl2anc 391 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → ((w ·P x) +P (z ·P y)) = ((z ·P y) +P (w ·P x)))
2213, 21eqtrd 2069 . 2 (((x P y P) (z P w P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) = ((z ·P y) +P (w ·P x)))
231, 2, 3, 8, 22ecovicom 6150 1 ((A R B R) → (A ·R B) = (B ·R A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  Pcnp 6275   +P cpp 6277   ·P cmp 6278   ~R cer 6280  Rcnr 6281   ·R cmr 6286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-enr 6614  df-nr 6615  df-mr 6617
This theorem is referenced by:  mulresr  6695  axmulcom  6715  axmulass  6717  axcnre  6725
  Copyright terms: Public domain W3C validator