Theorem opexg 3955

Description: An ordered pair of sets is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
opexg	⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → ⟨A, B⟩ ∈ V)

Proof of Theorem opexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3538	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → ⟨A, B⟩ = {{A}, {A, B}})
2		elex 2560	. . . . 5 ⊢ (A ∈ 𝑉 → A ∈ V)
3		snexg 3927	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → {A} ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (A ∈ 𝑉 → {A} ∈ V)
5	4	adantr 261	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → {A} ∈ V)
6		elex 2560	. . . 4 ⊢ (B ∈ 𝑊 → B ∈ V)
7		prexg 3938	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → {A, B} ∈ V)
8	2, 6, 7	syl2an 273	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → {A, B} ∈ V)
9		prexg 3938	. . 3 ⊢ (({A} ∈ V ∧ {A, B} ∈ V) → {{A}, {A, B}} ∈ V)
10	5, 8, 9	syl2anc 391	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → {{A}, {A, B}} ∈ V)
11	1, 10	eqeltrd 2111	1 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → ⟨A, B⟩ ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551  {csn 3367  {cpr 3368  ⟨cop 3370

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376

This theorem is referenced by:  opex  3957  otexg  3958  fliftel1  5377  oprabid  5480  eloprabga  5533  op1st  5715  op2nd  5716  ot1stg  5721  ot2ndg  5722  ot3rdgg  5723  elxp6  5738  mpt2fvex  5771  algrflem  5792  mpt2xopoveq  5796  brtposg  5810  tfr0  5878  tfrlemisucaccv  5880  tfrlemibxssdm  5882  tfrlemibfn  5883  tfrlemi14d  5888  mulpipq2  6355  enq0breq  6418  axcnre  6745  frec2uzrdg  8856  frecuzrdg0  8861  frecuzrdgsuc  8862