ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opexg Structured version   GIF version

Theorem opexg 3954
Description: An ordered pair of sets is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
opexg ((A 𝑉 B 𝑊) → ⟨A, B V)

Proof of Theorem opexg
StepHypRef Expression
1 dfopg 3537 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊) → ⟨A, B⟩ = {{A}, {A, B}})
2 elex 2560 . . . . 5 (A 𝑉A V)
3 snexg 3926 . . . . 5 (A V → {A} V)
42, 3syl 14 . . . 4 (A 𝑉 → {A} V)
54adantr 261 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊) → {A} V)
6 elex 2560 . . . 4 (B 𝑊B V)
7 prexg 3937 . . . 4 ((A V B V) → {A, B} V)
82, 6, 7syl2an 273 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊) → {A, B} V)
9 prexg 3937 . . 3 (({A} V {A, B} V) → {{A}, {A, B}} V)
105, 8, 9syl2anc 391 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊) → {{A}, {A, B}} V)
111, 10eqeltrd 2111 1 ((A 𝑉 B 𝑊) → ⟨A, B V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390  Vcvv 2551  {csn 3366  {cpr 3367  cop 3369
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375
This theorem is referenced by:  opex  3956  otexg  3957  fliftel1  5375  oprabid  5477  eloprabga  5530  op1st  5712  op2nd  5713  ot1stg  5718  ot2ndg  5719  ot3rdgg  5720  elxp6  5735  mpt2fvex  5768  algrflem  5789  mpt2xopoveq  5793  brtposg  5807  tfr0  5875  tfrlemisucaccv  5877  tfrlemibxssdm  5879  tfrlemibfn  5880  tfrlemi14d  5885  mulpipq2  6348  enq0breq  6411  axcnre  6717
  Copyright terms: Public domain W3C validator