Theorem opexg 3936

Description: An ordered pair of sets is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
opexg	⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → ⟨A, B⟩ ∈ V)

Proof of Theorem opexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3519	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → ⟨A, B⟩ = {{A}, {A, B}})
2		elex 2541	. . . . 5 ⊢ (A ∈ 𝑉 → A ∈ V)
3		snexg 3908	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → {A} ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (A ∈ 𝑉 → {A} ∈ V)
5	4	adantr 261	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → {A} ∈ V)
6		elex 2541	. . . 4 ⊢ (B ∈ 𝑊 → B ∈ V)
7		prexg 3919	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → {A, B} ∈ V)
8	2, 6, 7	syl2an 273	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → {A, B} ∈ V)
9		prexg 3919	. . 3 ⊢ (({A} ∈ V ∧ {A, B} ∈ V) → {{A}, {A, B}} ∈ V)
10	5, 8, 9	syl2anc 393	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → {{A}, {A, B}} ∈ V)
11	1, 10	eqeltrd 2096	1 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → ⟨A, B⟩ ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1374  Vcvv 2533  {csn 3348  {cpr 3349  ⟨cop 3351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3847  ax-pow 3899  ax-pr 3916

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2535  df-un 2897  df-in 2899  df-ss 2906  df-pw 3334  df-sn 3354  df-pr 3355  df-op 3357

This theorem is referenced by:  opex  3938  otexg  3939  fliftel1  5357  oprabid  5459  eloprabga  5512  op1st  5694  op2nd  5695  ot1stg  5700  ot2ndg  5701  ot3rdgg  5702  elxp6  5717  mpt2fvex  5750  algrflem  5771  mpt2xopoveq  5775  brtposg  5789  tfrlemisucaccv  5858  tfrlemibxssdm  5860  tfrlemibfn  5861  tfrlemi14d  5866  mulpipq2  6228  enq0breq  6289  axcnre  6571