ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcomsrg GIF version

Theorem addcomsrg 6840
Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
addcomsrg ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))

Proof of Theorem addcomsrg
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6812 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 addsrpr 6830 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3 addsrpr 6830 . 2 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑥P𝑦P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑥), (𝑤 +P 𝑦)⟩] ~R )
4 addcomprg 6676 . . 3 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 +P 𝑧) = (𝑧 +P 𝑥))
54ad2ant2r 478 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑥 +P 𝑧) = (𝑧 +P 𝑥))
6 addcomprg 6676 . . 3 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑦))
76ad2ant2l 477 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑦 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑦))
81, 2, 3, 5, 7ecovicom 6214 1 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  (class class class)co 5512  Pcnp 6389   +P cpp 6391   ~R cer 6394  Rcnr 6395   +R cplr 6399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-iplp 6566  df-enr 6811  df-nr 6812  df-plr 6813
This theorem is referenced by:  pn0sr  6856  caucvgsrlemoffval  6880  caucvgsrlemoffcau  6882  caucvgsrlemoffgt1  6883  caucvgsrlemoffres  6884  caucvgsr  6886  axaddcom  6944  axmulcom  6945  axmulass  6947  axdistr  6948  axi2m1  6949  axcnre  6955
  Copyright terms: Public domain W3C validator