ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axcnre Structured version   Unicode version

Theorem axcnre 6745
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 6774. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre  CC  RR  RR  +  _i  x.
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem axcnre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-c 6697 . 2  CC  R.  X.  R.
2 eqeq1 2043 . . 3  <. ,  >.  <. ,  >.  +  _i  x.  +  _i  x.
322rexbidv 2343 . 2  <. ,  >.  RR  RR  <. ,  >.  +  _i  x.  RR  RR  +  _i  x.
4 opelreal 6706 . . . . . 6  <. ,  0R >.  RR  R.
5 opelreal 6706 . . . . . 6  <. ,  0R >.  RR  R.
64, 5anbi12i 433 . . . . 5 
<. ,  0R >.  RR  <. ,  0R >.  RR  R.  R.
76biimpri 124 . . . 4  R.  R.  <. ,  0R >.  RR  <. ,  0R >.  RR
8 df-i 6700 . . . . . . . . 9  _i  <. 0R ,  1R >.
98oveq1i 5465 . . . . . . . 8  _i  x.  <. ,  0R >.  <. 0R ,  1R >.  x.  <. ,  0R >.
10 0r 6658 . . . . . . . . . 10  0R  R.
11 1sr 6659 . . . . . . . . . . 11  1R  R.
12 mulcnsr 6712 . . . . . . . . . . 11  0R  R. 
1R  R.  R.  0R  R.  <. 0R ,  1R >.  x.  <. ,  0R >.  <. 0R  .R  +R  -1R  .R  1R  .R  0R ,  1R  .R  +R  0R  .R  0R >.
1310, 11, 12mpanl12 412 . . . . . . . . . 10  R.  0R  R.  <. 0R ,  1R >.  x.  <. ,  0R >.  <. 0R  .R  +R  -1R  .R  1R  .R  0R ,  1R  .R  +R  0R  .R  0R >.
1410, 13mpan2 401 . . . . . . . . 9  R.  <. 0R ,  1R >.  x. 
<. ,  0R >.  <. 0R 
.R  +R  -1R  .R  1R 
.R  0R ,  1R  .R  +R  0R  .R  0R >.
15 mulcomsrg 6665 . . . . . . . . . . . . . 14  0R  R.  R.  0R  .R  .R  0R
1610, 15mpan 400 . . . . . . . . . . . . 13  R.  0R  .R  .R  0R
17 00sr 6677 . . . . . . . . . . . . 13  R.  .R  0R  0R
1816, 17eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . 12  R.  0R  .R  0R
1918oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11  R.  0R  .R  +R  -1R  .R  1R  .R  0R  0R  +R  -1R 
.R  1R  .R  0R
20 00sr 6677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  1R  R.  1R  .R  0R  0R
2111, 20ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . 15  1R 
.R  0R  0R
2221oveq2i 5466 . . . . . . . . . . . . . 14  -1R 
.R  1R  .R  0R  -1R  .R  0R
23 m1r 6660 . . . . . . . . . . . . . . 15  -1R  R.
24 00sr 6677 . . . . . . . . . . . . . . 15  -1R  R.  -1R 
.R  0R  0R
2523, 24ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14  -1R 
.R  0R  0R
2622, 25eqtri 2057 . . . . . . . . . . . . 13  -1R 
.R  1R  .R  0R  0R
2726oveq2i 5466 . . . . . . . . . . . 12  0R 
+R  -1R  .R  1R  .R  0R  0R  +R  0R
28 0idsr 6675 . . . . . . . . . . . . 13  0R  R.  0R  +R  0R  0R
2910, 28ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  0R 
+R  0R  0R
3027, 29eqtri 2057 . . . . . . . . . . 11  0R 
+R  -1R  .R  1R  .R  0R  0R
3119, 30syl6eq 2085 . . . . . . . . . 10  R.  0R  .R  +R  -1R  .R  1R  .R  0R  0R
32 mulcomsrg 6665 . . . . . . . . . . . . . 14  1R  R.  R.  1R  .R  .R  1R
3311, 32mpan 400 . . . . . . . . . . . . 13  R.  1R  .R  .R  1R
34 1idsr 6676 . . . . . . . . . . . . 13  R.  .R  1R
3533, 34eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . 12  R.  1R  .R
3635oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11  R.  1R  .R  +R  0R  .R  0R  +R  0R 
.R  0R
37 00sr 6677 . . . . . . . . . . . . . 14  0R  R.  0R  .R  0R  0R
3810, 37ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . 13  0R 
.R  0R  0R
3938oveq2i 5466 . . . . . . . . . . . 12  +R  0R  .R  0R  +R  0R
40 0idsr 6675 . . . . . . . . . . . 12  R.  +R  0R
4139, 40syl5eq 2081 . . . . . . . . . . 11  R.  +R  0R  .R  0R
4236, 41eqtrd 2069 . . . . . . . . . 10  R.  1R  .R  +R  0R  .R  0R
4331, 42opeq12d 3548 . . . . . . . . 9  R.  <. 0R  .R  +R  -1R  .R  1R  .R  0R ,  1R  .R  +R  0R  .R  0R >.  <. 0R ,  >.
4414, 43eqtrd 2069 . . . . . . . 8  R.  <. 0R ,  1R >.  x. 
<. ,  0R >.  <. 0R ,  >.
459, 44syl5eq 2081 . . . . . . 7  R.  _i  x.  <. ,  0R >.  <. 0R ,  >.
4645oveq2d 5471 . . . . . 6  R.  <. ,  0R >.  +  _i  x.  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  +  <. 0R ,  >.
4746adantl 262 . . . . 5  R.  R.  <. ,  0R >.  +  _i  x.  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  +  <. 0R ,  >.
48 addcnsr 6711 . . . . . . 7  R.  0R  R.  0R  R.  R.  <. ,  0R >.  +  <. 0R ,  >.  <.  +R  0R ,  0R  +R  >.
4910, 48mpanl2 411 . . . . . 6  R.  0R  R.  R.  <. ,  0R >.  +  <. 0R ,  >.  <.  +R  0R ,  0R  +R  >.
5010, 49mpanr1 413 . . . . 5  R.  R.  <. ,  0R >.  +  <. 0R ,  >.  <.  +R  0R ,  0R  +R  >.
51 0idsr 6675 . . . . . 6  R.  +R  0R
52 addcomsrg 6663 . . . . . . . 8  0R  R.  R.  0R  +R  +R  0R
5310, 52mpan 400 . . . . . . 7  R.  0R  +R  +R  0R
5453, 40eqtrd 2069 . . . . . 6  R.  0R  +R
55 opeq12 3542 . . . . . 6  +R  0R  0R  +R  <.  +R  0R ,  0R 
+R  >. 
<. ,  >.
5651, 54, 55syl2an 273 . . . . 5  R.  R.  <.  +R  0R ,  0R 
+R  >. 
<. ,  >.
5747, 50, 563eqtrrd 2074 . . . 4  R.  R.  <. ,  >.  <. ,  0R >.  +  _i  x.  <. ,  0R >.
58 vex 2554 . . . . . 6 
_V
59 opexg 3955 . . . . . 6  _V  0R  R.  <. ,  0R >. 
_V
6058, 10, 59mp2an 402 . . . . 5  <. ,  0R >.  _V
61 vex 2554 . . . . . 6 
_V
62 opexg 3955 . . . . . 6  _V  0R  R.  <. ,  0R >. 
_V
6361, 10, 62mp2an 402 . . . . 5  <. ,  0R >.  _V
64 eleq1 2097 . . . . . . 7  <. ,  0R >.  RR  <. ,  0R >.  RR
65 eleq1 2097 . . . . . . 7  <. ,  0R >.  RR  <. ,  0R >.  RR
6664, 65bi2anan9 538 . . . . . 6  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  RR  RR  <. ,  0R >.  RR  <. ,  0R >.  RR
67 oveq1 5462 . . . . . . . 8  <. ,  0R >.  +  _i  x.  <. ,  0R >.  +  _i  x.
68 oveq2 5463 . . . . . . . . 9  <. ,  0R >.  _i  x.  _i  x.  <. ,  0R >.
6968oveq2d 5471 . . . . . . . 8  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  +  _i  x.  <. ,  0R >.  +  _i  x.  <. ,  0R >.
7067, 69sylan9eq 2089 . . . . . . 7  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  +  _i  x. 
<. ,  0R >.  +  _i  x.  <. ,  0R >.
7170eqeq2d 2048 . . . . . 6  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  <. ,  >.  +  _i  x. 
<. ,  >.  <. ,  0R >.  +  _i  x.  <. ,  0R >.
7266, 71anbi12d 442 . . . . 5  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  RR  RR  <. ,  >.  +  _i  x. 
<. ,  0R >.  RR  <. ,  0R >.  RR  <. ,  >.  <. ,  0R >.  +  _i  x.  <. ,  0R >.
7360, 63, 72spc2ev 2642 . . . 4  <. ,  0R >.  RR  <. ,  0R >.  RR  <. ,  >.  <. ,  0R >.  +  _i  x.  <. ,  0R >.  RR  RR  <. ,  >.  +  _i  x.
747, 57, 73syl2anc 391 . . 3  R.  R.  RR  RR  <. ,  >.  +  _i  x.
75 r2ex 2338 . . 3  RR  RR  <. ,  >.  +  _i  x.  RR  RR  <. ,  >.  +  _i  x.
7674, 75sylibr 137 . 2  R.  R.  RR  RR  <. ,  >.  +  _i  x.
771, 3, 76optocl 4359 1  CC  RR  RR  +  _i  x.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301   _Vcvv 2551   <.cop 3370  (class class class)co 5455   R.cnr 6281   0Rc0r 6282   1Rc1r 6283   -1Rcm1r 6284    +R cplr 6285    .R cmr 6286   CCcc 6689   RRcr 6690   _ici 6693    + caddc 6694    x. cmul 6696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-enr 6634  df-nr 6635  df-plr 6636  df-mr 6637  df-0r 6639  df-1r 6640  df-m1r 6641  df-c 6697  df-i 6700  df-r 6701  df-add 6702  df-mul 6703
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator