Theorem axcnre 6745

Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 6774. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnre	|- (A e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + ( _i x. y)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem axcnre

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 6697	. 2 |- CC = ( R. X. R.)
2		eqeq1 2043	. . 3 |- ( <.z , w >. = A -> ( <.z , w >. = (x + ( _i x. y)) <-> A = (x + ( _i x. y))))
3	2	2rexbidv 2343	. 2 |- ( <.z , w >. = A -> (E.x e. RR E.y e. RR <.z , w >. = (x + ( _i x. y)) <-> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + ( _i x. y))))
4		opelreal 6706	. . . . . 6 |- ( <.z , 0R >. e. RR <-> z e. R.)
5		opelreal 6706	. . . . . 6 |- ( <.w , 0R >. e. RR <-> w e. R.)
6	4, 5	anbi12i 433	. . . . 5 |- (( <.z , 0R >. e. RR /\ <.w , 0R >. e. RR) <-> (z e. R. /\ w e. R.))
7	6	biimpri 124	. . . 4 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> ( <.z , 0R >. e. RR /\ <.w , 0R >. e. RR))
8		df-i 6700	. . . . . . . . 9 |- _i = <. 0R , 1R >.
9	8	oveq1i 5465	. . . . . . . 8 |- ( _i x. <.w , 0R >.) = ( <. 0R , 1R >. x. <.w , 0R >.)
10		0r 6658	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
11		1sr 6659	. . . . . . . . . . 11 |- 1R e. R.
12		mulcnsr 6712	. . . . . . . . . . 11 |- ((( 0R e. R. /\ 1R e. R.) /\ (w e. R. /\ 0R e. R.)) -> ( <. 0R , 1R >. x. <.w , 0R >.) = <.(( 0R .R w) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R))) , (( 1R .R w) +R ( 0R .R 0R)) >.)
13	10, 11, 12	mpanl12 412	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. R. /\ 0R e. R.) -> ( <. 0R , 1R >. x. <.w , 0R >.) = <.(( 0R .R w) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R))) , (( 1R .R w) +R ( 0R .R 0R)) >.)
14	10, 13	mpan2 401	. . . . . . . . 9 |- (w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <.w , 0R >.) = <.(( 0R .R w) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R))) , (( 1R .R w) +R ( 0R .R 0R)) >.)
15		mulcomsrg 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( 0R e. R. /\ w e. R.) -> ( 0R .R w) = (w .R 0R))
16	10, 15	mpan 400	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. R. -> ( 0R .R w) = (w .R 0R))
17		00sr 6677	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. R. -> (w .R 0R) = 0R)
18	16, 17	eqtrd 2069	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. R. -> ( 0R .R w) = 0R)
19	18	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. R. -> (( 0R .R w) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R))) = ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R))))
20		00sr 6677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 0R) = 0R)
21	11, 20	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1R .R 0R) = 0R
22	21	oveq2i 5466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R)) = ( -1R .R 0R)
23		m1r 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
24		00sr 6677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 0R) = 0R)
25	23, 24	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R 0R) = 0R
26	22, 25	eqtri 2057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R)) = 0R
27	26	oveq2i 5466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R))) = ( 0R +R 0R)
28		0idsr 6675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R) = 0R)
29	10, 28	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R 0R) = 0R
30	27, 29	eqtri 2057	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R))) = 0R
31	19, 30	syl6eq 2085	. . . . . . . . . 10 |- (w e. R. -> (( 0R .R w) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R))) = 0R)
32		mulcomsrg 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( 1R e. R. /\ w e. R.) -> ( 1R .R w) = (w .R 1R))
33	11, 32	mpan 400	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. R. -> ( 1R .R w) = (w .R 1R))
34		1idsr 6676	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. R. -> (w .R 1R) = w)
35	33, 34	eqtrd 2069	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. R. -> ( 1R .R w) = w)
36	35	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. R. -> (( 1R .R w) +R ( 0R .R 0R)) = (w +R ( 0R .R 0R)))
37		00sr 6677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R) = 0R)
38	10, 37	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R .R 0R) = 0R
39	38	oveq2i 5466	. . . . . . . . . . . 12 |- (w +R ( 0R .R 0R)) = (w +R 0R)
40		0idsr 6675	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. R. -> (w +R 0R) = w)
41	39, 40	syl5eq 2081	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. R. -> (w +R ( 0R .R 0R)) = w)
42	36, 41	eqtrd 2069	. . . . . . . . . 10 |- (w e. R. -> (( 1R .R w) +R ( 0R .R 0R)) = w)
43	31, 42	opeq12d 3548	. . . . . . . . 9 |- (w e. R. -> <.(( 0R .R w) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R))) , (( 1R .R w) +R ( 0R .R 0R)) >. = <. 0R , w >.)
44	14, 43	eqtrd 2069	. . . . . . . 8 |- (w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <.w , 0R >.) = <. 0R , w >.)
45	9, 44	syl5eq 2081	. . . . . . 7 |- (w e. R. -> ( _i x. <.w , 0R >.) = <. 0R , w >.)
46	45	oveq2d 5471	. . . . . 6 |- (w e. R. -> ( <.z , 0R >. + ( _i x. <.w , 0R >.)) = ( <.z , 0R >. + <. 0R , w >.))
47	46	adantl 262	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> ( <.z , 0R >. + ( _i x. <.w , 0R >.)) = ( <.z , 0R >. + <. 0R , w >.))
48		addcnsr 6711	. . . . . . 7 |- (((z e. R. /\ 0R e. R.) /\ ( 0R e. R. /\ w e. R.)) -> ( <.z , 0R >. + <. 0R , w >.) = <.(z +R 0R) , ( 0R +R w) >.)
49	10, 48	mpanl2 411	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ ( 0R e. R. /\ w e. R.)) -> ( <.z , 0R >. + <. 0R , w >.) = <.(z +R 0R) , ( 0R +R w) >.)
50	10, 49	mpanr1 413	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> ( <.z , 0R >. + <. 0R , w >.) = <.(z +R 0R) , ( 0R +R w) >.)
51		0idsr 6675	. . . . . 6 |- (z e. R. -> (z +R 0R) = z)
52		addcomsrg 6663	. . . . . . . 8 |- (( 0R e. R. /\ w e. R.) -> ( 0R +R w) = (w +R 0R))
53	10, 52	mpan 400	. . . . . . 7 |- (w e. R. -> ( 0R +R w) = (w +R 0R))
54	53, 40	eqtrd 2069	. . . . . 6 |- (w e. R. -> ( 0R +R w) = w)
55		opeq12 3542	. . . . . 6 |- (((z +R 0R) = z /\ ( 0R +R w) = w) -> <.(z +R 0R) , ( 0R +R w) >. = <.z , w >.)
56	51, 54, 55	syl2an 273	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> <.(z +R 0R) , ( 0R +R w) >. = <.z , w >.)
57	47, 50, 56	3eqtrrd 2074	. . . 4 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> <.z , w >. = ( <.z , 0R >. + ( _i x. <.w , 0R >.)))
58		vex 2554	. . . . . 6 |- z e. _V
59		opexg 3955	. . . . . 6 |- ((z e. _V /\ 0R e. R.) -> <.z , 0R >. e. _V)
60	58, 10, 59	mp2an 402	. . . . 5 |- <.z , 0R >. e. _V
61		vex 2554	. . . . . 6 |- w e. _V
62		opexg 3955	. . . . . 6 |- ((w e. _V /\ 0R e. R.) -> <.w , 0R >. e. _V)
63	61, 10, 62	mp2an 402	. . . . 5 |- <.w , 0R >. e. _V
64		eleq1 2097	. . . . . . 7 |- (x = <.z , 0R >. -> (x e. RR <-> <.z , 0R >. e. RR))
65		eleq1 2097	. . . . . . 7 |- (y = <.w , 0R >. -> (y e. RR <-> <.w , 0R >. e. RR))
66	64, 65	bi2anan9 538	. . . . . 6 |- ((x = <.z , 0R >. /\ y = <.w , 0R >.) -> ((x e. RR /\ y e. RR) <-> ( <.z , 0R >. e. RR /\ <.w , 0R >. e. RR)))
67		oveq1 5462	. . . . . . . 8 |- (x = <.z , 0R >. -> (x + ( _i x. y)) = ( <.z , 0R >. + ( _i x. y)))
68		oveq2 5463	. . . . . . . . 9 |- (y = <.w , 0R >. -> ( _i x. y) = ( _i x. <.w , 0R >.))
69	68	oveq2d 5471	. . . . . . . 8 |- (y = <.w , 0R >. -> ( <.z , 0R >. + ( _i x. y)) = ( <.z , 0R >. + ( _i x. <.w , 0R >.)))
70	67, 69	sylan9eq 2089	. . . . . . 7 |- ((x = <.z , 0R >. /\ y = <.w , 0R >.) -> (x + ( _i x. y)) = ( <.z , 0R >. + ( _i x. <.w , 0R >.)))
71	70	eqeq2d 2048	. . . . . 6 |- ((x = <.z , 0R >. /\ y = <.w , 0R >.) -> ( <.z , w >. = (x + ( _i x. y)) <-> <.z , w >. = ( <.z , 0R >. + ( _i x. <.w , 0R >.))))
72	66, 71	anbi12d 442	. . . . 5 |- ((x = <.z , 0R >. /\ y = <.w , 0R >.) -> (((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z , w >. = (x + ( _i x. y))) <-> (( <.z , 0R >. e. RR /\ <.w , 0R >. e. RR) /\ <.z , w >. = ( <.z , 0R >. + ( _i x. <.w , 0R >.)))))
73	60, 63, 72	spc2ev 2642	. . . 4 |- ((( <.z , 0R >. e. RR /\ <.w , 0R >. e. RR) /\ <.z , w >. = ( <.z , 0R >. + ( _i x. <.w , 0R >.))) -> E.xE.y((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z , w >. = (x + ( _i x. y))))
74	7, 57, 73	syl2anc 391	. . 3 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> E.xE.y((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z , w >. = (x + ( _i x. y))))
75		r2ex 2338	. . 3 |- (E.x e. RR E.y e. RR <.z , w >. = (x + ( _i x. y)) <-> E.xE.y((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z , w >. = (x + ( _i x. y))))
76	74, 75	sylibr 137	. 2 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> E.x e. RR E.y e. RR <.z , w >. = (x + ( _i x. y)))
77	1, 3, 76	optocl 4359	1 |- (A e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + ( _i x. y)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390  E.wrex 2301   _Vcvv 2551   <.cop 3370  (class class class)co 5455   R.cnr 6281   0Rc0r 6282   1Rc1r 6283   -1Rcm1r 6284   +R cplr 6285   .R cmr 6286   CCcc 6689   RRcr 6690   _ici 6693   + caddc 6694   x. cmul 6696

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-enr 6634  df-nr 6635  df-plr 6636  df-mr 6637  df-0r 6639  df-1r 6640  df-m1r 6641  df-c 6697  df-i 6700  df-r 6701  df-add 6702  df-mul 6703

This theorem is referenced by: (None)