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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > axcnre | Unicode version |
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 6794. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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axcnre |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | df-c 6717 |
. 2
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2 | eqeq1 2043 |
. . 3
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3 | 2 | 2rexbidv 2343 |
. 2
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4 | opelreal 6726 |
. . . . . 6
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5 | opelreal 6726 |
. . . . . 6
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6 | 4, 5 | anbi12i 433 |
. . . . 5
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7 | 6 | biimpri 124 |
. . . 4
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8 | df-i 6720 |
. . . . . . . . 9
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9 | 8 | oveq1i 5465 |
. . . . . . . 8
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10 | 0r 6678 |
. . . . . . . . . 10
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11 | 1sr 6679 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | mulcnsr 6732 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 10, 11, 12 | mpanl12 412 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 10, 13 | mpan2 401 |
. . . . . . . . 9
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15 | mulcomsrg 6685 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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16 | 10, 15 | mpan 400 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 00sr 6697 |
. . . . . . . . . . . . 13
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18 | 16, 17 | eqtrd 2069 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 18 | oveq1d 5470 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 00sr 6697 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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21 | 11, 20 | ax-mp 7 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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22 | 21 | oveq2i 5466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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23 | m1r 6680 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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24 | 00sr 6697 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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25 | 23, 24 | ax-mp 7 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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26 | 22, 25 | eqtri 2057 |
. . . . . . . . . . . . 13
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27 | 26 | oveq2i 5466 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 0idsr 6695 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 10, 28 | ax-mp 7 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 27, 29 | eqtri 2057 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 19, 30 | syl6eq 2085 |
. . . . . . . . . 10
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32 | mulcomsrg 6685 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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33 | 11, 32 | mpan 400 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 1idsr 6696 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 33, 34 | eqtrd 2069 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | oveq1d 5470 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 00sr 6697 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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38 | 10, 37 | ax-mp 7 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 38 | oveq2i 5466 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 0idsr 6695 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 39, 40 | syl5eq 2081 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 36, 41 | eqtrd 2069 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 31, 42 | opeq12d 3548 |
. . . . . . . . 9
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44 | 14, 43 | eqtrd 2069 |
. . . . . . . 8
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45 | 9, 44 | syl5eq 2081 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | oveq2d 5471 |
. . . . . 6
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47 | 46 | adantl 262 |
. . . . 5
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48 | addcnsr 6731 |
. . . . . . 7
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49 | 10, 48 | mpanl2 411 |
. . . . . 6
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50 | 10, 49 | mpanr1 413 |
. . . . 5
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51 | 0idsr 6695 |
. . . . . 6
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52 | addcomsrg 6683 |
. . . . . . . 8
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53 | 10, 52 | mpan 400 |
. . . . . . 7
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54 | 53, 40 | eqtrd 2069 |
. . . . . 6
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55 | opeq12 3542 |
. . . . . 6
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56 | 51, 54, 55 | syl2an 273 |
. . . . 5
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57 | 47, 50, 56 | 3eqtrrd 2074 |
. . . 4
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58 | vex 2554 |
. . . . . 6
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59 | opexg 3955 |
. . . . . 6
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60 | 58, 10, 59 | mp2an 402 |
. . . . 5
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61 | vex 2554 |
. . . . . 6
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62 | opexg 3955 |
. . . . . 6
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63 | 61, 10, 62 | mp2an 402 |
. . . . 5
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64 | eleq1 2097 |
. . . . . . 7
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65 | eleq1 2097 |
. . . . . . 7
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66 | 64, 65 | bi2anan9 538 |
. . . . . 6
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67 | oveq1 5462 |
. . . . . . . 8
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68 | oveq2 5463 |
. . . . . . . . 9
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69 | 68 | oveq2d 5471 |
. . . . . . . 8
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70 | 67, 69 | sylan9eq 2089 |
. . . . . . 7
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71 | 70 | eqeq2d 2048 |
. . . . . 6
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72 | 66, 71 | anbi12d 442 |
. . . . 5
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73 | 60, 63, 72 | spc2ev 2642 |
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74 | 7, 57, 73 | syl2anc 391 |
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75 | r2ex 2338 |
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76 | 74, 75 | sylibr 137 |
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77 | 1, 3, 76 | optocl 4359 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 629 ax-5 1333 ax-7 1334 ax-gen 1335 ax-ie1 1379 ax-ie2 1380 ax-8 1392 ax-10 1393 ax-11 1394 ax-i12 1395 ax-bndl 1396 ax-4 1397 ax-13 1401 ax-14 1402 ax-17 1416 ax-i9 1420 ax-ial 1424 ax-i5r 1425 ax-ext 2019 ax-coll 3863 ax-sep 3866 ax-nul 3874 ax-pow 3918 ax-pr 3935 ax-un 4136 ax-setind 4220 ax-iinf 4254 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 742 df-3or 885 df-3an 886 df-tru 1245 df-fal 1248 df-nf 1347 df-sb 1643 df-eu 1900 df-mo 1901 df-clab 2024 df-cleq 2030 df-clel 2033 df-nfc 2164 df-ne 2203 df-ral 2305 df-rex 2306 df-reu 2307 df-rab 2309 df-v 2553 df-sbc 2759 df-csb 2847 df-dif 2914 df-un 2916 df-in 2918 df-ss 2925 df-nul 3219 df-pw 3353 df-sn 3373 df-pr 3374 df-op 3376 df-uni 3572 df-int 3607 df-iun 3650 df-br 3756 df-opab 3810 df-mpt 3811 df-tr 3846 df-eprel 4017 df-id 4021 df-po 4024 df-iso 4025 df-iord 4069 df-on 4071 df-suc 4074 df-iom 4257 df-xp 4294 df-rel 4295 df-cnv 4296 df-co 4297 df-dm 4298 df-rn 4299 df-res 4300 df-ima 4301 df-iota 4810 df-fun 4847 df-fn 4848 df-f 4849 df-f1 4850 df-fo 4851 df-f1o 4852 df-fv 4853 df-ov 5458 df-oprab 5459 df-mpt2 5460 df-1st 5709 df-2nd 5710 df-recs 5861 df-irdg 5897 df-1o 5940 df-2o 5941 df-oadd 5944 df-omul 5945 df-er 6042 df-ec 6044 df-qs 6048 df-ni 6288 df-pli 6289 df-mi 6290 df-lti 6291 df-plpq 6328 df-mpq 6329 df-enq 6331 df-nqqs 6332 df-plqqs 6333 df-mqqs 6334 df-1nqqs 6335 df-rq 6336 df-ltnqqs 6337 df-enq0 6407 df-nq0 6408 df-0nq0 6409 df-plq0 6410 df-mq0 6411 df-inp 6449 df-i1p 6450 df-iplp 6451 df-imp 6452 df-enr 6654 df-nr 6655 df-plr 6656 df-mr 6657 df-0r 6659 df-1r 6660 df-m1r 6661 df-c 6717 df-i 6720 df-r 6721 df-add 6722 df-mul 6723 |
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