ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0idsr GIF version

Theorem 0idsr 6850
Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)
Assertion
Ref Expression
0idsr (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)

Proof of Theorem 0idsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6810 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 5519 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = (𝐴 +R 0R))
3 id 19 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴)
42, 3eqeq12d 2054 . 2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝐴 +R 0R) = 𝐴))
5 df-0r 6814 . . . 4 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
65oveq2i 5523 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R )
7 1pr 6650 . . . . 5 1PP
8 addsrpr 6828 . . . . 5 (((𝑥P𝑦P) ∧ (1PP ∧ 1PP)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
97, 7, 8mpanr12 415 . . . 4 ((𝑥P𝑦P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
10 simpl 102 . . . . . 6 ((𝑥P𝑦P) → 𝑥P)
11 simpr 103 . . . . . 6 ((𝑥P𝑦P) → 𝑦P)
127a1i 9 . . . . . 6 ((𝑥P𝑦P) → 1PP)
13 addcomprg 6674 . . . . . . 7 ((𝑧P𝑤P) → (𝑧 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑧))
1413adantl 262 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑧 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑧))
15 addassprg 6675 . . . . . . 7 ((𝑧P𝑤P𝑣P) → ((𝑧 +P 𝑤) +P 𝑣) = (𝑧 +P (𝑤 +P 𝑣)))
1615adantl 262 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P𝑣P)) → ((𝑧 +P 𝑤) +P 𝑣) = (𝑧 +P (𝑤 +P 𝑣)))
1710, 11, 12, 14, 16caov12d 5682 . . . . 5 ((𝑥P𝑦P) → (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P)))
18 addclpr 6633 . . . . . . . 8 ((𝑥P ∧ 1PP) → (𝑥 +P 1P) ∈ P)
197, 18mpan2 401 . . . . . . 7 (𝑥P → (𝑥 +P 1P) ∈ P)
20 addclpr 6633 . . . . . . . 8 ((𝑦P ∧ 1PP) → (𝑦 +P 1P) ∈ P)
217, 20mpan2 401 . . . . . . 7 (𝑦P → (𝑦 +P 1P) ∈ P)
2219, 21anim12i 321 . . . . . 6 ((𝑥P𝑦P) → ((𝑥 +P 1P) ∈ P ∧ (𝑦 +P 1P) ∈ P))
23 enreceq 6819 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ ((𝑥 +P 1P) ∈ P ∧ (𝑦 +P 1P) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R ↔ (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P))))
2422, 23mpdan 398 . . . . 5 ((𝑥P𝑦P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R ↔ (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P))))
2517, 24mpbird 156 . . . 4 ((𝑥P𝑦P) → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
269, 25eqtr4d 2075 . . 3 ((𝑥P𝑦P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
276, 26syl5eq 2084 . 2 ((𝑥P𝑦P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
281, 4, 27ecoptocl 6193 1 (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  cop 3378  (class class class)co 5512  [cec 6104  Pcnp 6387  1Pc1p 6388   +P cpp 6389   ~R cer 6392  Rcnr 6393  0Rc0r 6394   +R cplr 6397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-enr 6809  df-nr 6810  df-plr 6811  df-0r 6814
This theorem is referenced by:  addgt0sr  6858  ltadd1sr  6859  caucvgsrlemoffval  6878  caucvgsrlemoffres  6882  caucvgsr  6884  addresr  6911  mulresr  6912  axi2m1  6947  ax0id  6950  axcnre  6953
  Copyright terms: Public domain W3C validator