ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulresr Structured version   GIF version

Theorem mulresr 6695
Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulresr ((A R B R) → (⟨A, 0R⟩ · ⟨B, 0R⟩) = ⟨(A ·R B), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr
StepHypRef Expression
1 0r 6638 . . 3 0R R
2 mulcnsr 6692 . . . 4 (((A R 0R R) (B R 0R R)) → (⟨A, 0R⟩ · ⟨B, 0R⟩) = ⟨((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R B) +R (A ·R 0R))⟩)
32an4s 522 . . 3 (((A R B R) (0R R 0R R)) → (⟨A, 0R⟩ · ⟨B, 0R⟩) = ⟨((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R B) +R (A ·R 0R))⟩)
41, 1, 3mpanr12 415 . 2 ((A R B R) → (⟨A, 0R⟩ · ⟨B, 0R⟩) = ⟨((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R B) +R (A ·R 0R))⟩)
5 00sr 6657 . . . . . . . 8 (0R R → (0R ·R 0R) = 0R)
61, 5ax-mp 7 . . . . . . 7 (0R ·R 0R) = 0R
76oveq2i 5466 . . . . . 6 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
8 m1r 6640 . . . . . . 7 -1R R
9 00sr 6657 . . . . . . 7 (-1R R → (-1R ·R 0R) = 0R)
108, 9ax-mp 7 . . . . . 6 (-1R ·R 0R) = 0R
117, 10eqtri 2057 . . . . 5 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
1211oveq2i 5466 . . . 4 ((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((A ·R B) +R 0R)
13 mulclsr 6642 . . . . 5 ((A R B R) → (A ·R B) R)
14 0idsr 6655 . . . . 5 ((A ·R B) R → ((A ·R B) +R 0R) = (A ·R B))
1513, 14syl 14 . . . 4 ((A R B R) → ((A ·R B) +R 0R) = (A ·R B))
1612, 15syl5eq 2081 . . 3 ((A R B R) → ((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (A ·R B))
17 mulcomsrg 6645 . . . . . . 7 ((0R R B R) → (0R ·R B) = (B ·R 0R))
181, 17mpan 400 . . . . . 6 (B R → (0R ·R B) = (B ·R 0R))
19 00sr 6657 . . . . . 6 (B R → (B ·R 0R) = 0R)
2018, 19eqtrd 2069 . . . . 5 (B R → (0R ·R B) = 0R)
21 00sr 6657 . . . . 5 (A R → (A ·R 0R) = 0R)
2220, 21oveqan12rd 5475 . . . 4 ((A R B R) → ((0R ·R B) +R (A ·R 0R)) = (0R +R 0R))
23 0idsr 6655 . . . . 5 (0R R → (0R +R 0R) = 0R)
241, 23ax-mp 7 . . . 4 (0R +R 0R) = 0R
2522, 24syl6eq 2085 . . 3 ((A R B R) → ((0R ·R B) +R (A ·R 0R)) = 0R)
2616, 25opeq12d 3548 . 2 ((A R B R) → ⟨((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R B) +R (A ·R 0R))⟩ = ⟨(A ·R B), 0R⟩)
274, 26eqtrd 2069 1 ((A R B R) → (⟨A, 0R⟩ · ⟨B, 0R⟩) = ⟨(A ·R B), 0R⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370  (class class class)co 5455  Rcnr 6281  0Rc0r 6282  -1Rcm1r 6284   +R cplr 6285   ·R cmr 6286   · cmul 6676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-enr 6614  df-nr 6615  df-plr 6616  df-mr 6617  df-0r 6619  df-m1r 6621  df-c 6677  df-mul 6683
This theorem is referenced by:  axmulrcl  6713  ax1rid  6721  axprecex  6724  axpre-mulgt0  6731  axpre-mulext  6732
  Copyright terms: Public domain W3C validator