ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclsr Structured version   GIF version

Theorem mulclsr 6682
Description: Closure of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulclsr ((A R B R) → (A ·R B) R)

Proof of Theorem mulclsr
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6655 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 5462 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = (A ·R [⟨z, w⟩] ~R ))
32eleq1d 2103 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ((P × P) / ~R ) ↔ (A ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ((P × P) / ~R )))
4 oveq2 5463 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (A ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = (A ·R B))
54eleq1d 2103 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((A ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ((P × P) / ~R ) ↔ (A ·R B) ((P × P) / ~R )))
6 mulsrpr 6674 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R )
7 mulclpr 6553 . . . . . . . 8 ((x P z P) → (x ·P z) P)
8 mulclpr 6553 . . . . . . . 8 ((y P w P) → (y ·P w) P)
9 addclpr 6520 . . . . . . . 8 (((x ·P z) P (y ·P w) P) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) P)
107, 8, 9syl2an 273 . . . . . . 7 (((x P z P) (y P w P)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) P)
1110an4s 522 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) P)
12 mulclpr 6553 . . . . . . . 8 ((x P w P) → (x ·P w) P)
13 mulclpr 6553 . . . . . . . 8 ((y P z P) → (y ·P z) P)
14 addclpr 6520 . . . . . . . 8 (((x ·P w) P (y ·P z) P) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) P)
1512, 13, 14syl2an 273 . . . . . . 7 (((x P w P) (y P z P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) P)
1615an42s 523 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) P)
1711, 16jca 290 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P)) → (((x ·P z) +P (y ·P w)) P ((x ·P w) +P (y ·P z)) P))
18 opelxpi 4319 . . . . 5 ((((x ·P z) +P (y ·P w)) P ((x ·P w) +P (y ·P z)) P) → ⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩ (P × P))
19 enrex 6665 . . . . . 6 ~R V
2019ecelqsi 6096 . . . . 5 (⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩ (P × P) → [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R ((P × P) / ~R ))
2117, 18, 203syl 17 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R ((P × P) / ~R ))
226, 21eqeltrd 2111 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ((P × P) / ~R ))
231, 3, 5, 222ecoptocl 6130 . 2 ((A R B R) → (A ·R B) ((P × P) / ~R ))
2423, 1syl6eleqr 2128 1 ((A R B R) → (A ·R B) R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   × cxp 4286  (class class class)co 5455  [cec 6040   / cqs 6041  Pcnp 6275   +P cpp 6277   ·P cmp 6278   ~R cer 6280  Rcnr 6281   ·R cmr 6286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451  df-imp 6452  df-enr 6654  df-nr 6655  df-mr 6657
This theorem is referenced by:  pn0sr  6699  negexsr  6700  mulcnsr  6732  mulresr  6735  mulcnsrec  6740  axmulcl  6752  axmulrcl  6753  axmulcom  6755  axmulass  6757  axdistr  6758  axrnegex  6763
  Copyright terms: Public domain W3C validator