ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax1rid Structured version   GIF version

Theorem ax1rid 6721
Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 6750. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1rid (A ℝ → (A · 1) = A)

Proof of Theorem ax1rid
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 6681 . 2 ℝ = (R × {0R})
2 oveq1 5462 . . 3 (⟨x, y⟩ = A → (⟨x, y⟩ · 1) = (A · 1))
3 id 19 . . 3 (⟨x, y⟩ = A → ⟨x, y⟩ = A)
42, 3eqeq12d 2051 . 2 (⟨x, y⟩ = A → ((⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩ ↔ (A · 1) = A))
5 elsni 3391 . . 3 (y {0R} → y = 0R)
6 df-1 6679 . . . . . . 7 1 = ⟨1R, 0R
76oveq2i 5466 . . . . . 6 (⟨x, 0R⟩ · 1) = (⟨x, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
8 1sr 6639 . . . . . . . 8 1R R
9 mulresr 6695 . . . . . . . 8 ((x R 1R R) → (⟨x, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(x ·R 1R), 0R⟩)
108, 9mpan2 401 . . . . . . 7 (x R → (⟨x, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(x ·R 1R), 0R⟩)
11 1idsr 6656 . . . . . . . 8 (x R → (x ·R 1R) = x)
1211opeq1d 3546 . . . . . . 7 (x R → ⟨(x ·R 1R), 0R⟩ = ⟨x, 0R⟩)
1310, 12eqtrd 2069 . . . . . 6 (x R → (⟨x, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨x, 0R⟩)
147, 13syl5eq 2081 . . . . 5 (x R → (⟨x, 0R⟩ · 1) = ⟨x, 0R⟩)
15 opeq2 3541 . . . . . . 7 (y = 0R → ⟨x, y⟩ = ⟨x, 0R⟩)
1615oveq1d 5470 . . . . . 6 (y = 0R → (⟨x, y⟩ · 1) = (⟨x, 0R⟩ · 1))
1716, 15eqeq12d 2051 . . . . 5 (y = 0R → ((⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩ ↔ (⟨x, 0R⟩ · 1) = ⟨x, 0R⟩))
1814, 17syl5ibr 145 . . . 4 (y = 0R → (x R → (⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩))
1918impcom 116 . . 3 ((x R y = 0R) → (⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩)
205, 19sylan2 270 . 2 ((x R y {0R}) → (⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩)
211, 4, 20optocl 4359 1 (A ℝ → (A · 1) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1242   wcel 1390  {csn 3367  cop 3370  (class class class)co 5455  Rcnr 6281  0Rc0r 6282  1Rc1r 6283   ·R cmr 6286  cr 6670  1c1 6672   · cmul 6676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-enr 6614  df-nr 6615  df-plr 6616  df-mr 6617  df-0r 6619  df-1r 6620  df-m1r 6621  df-c 6677  df-1 6679  df-r 6681  df-mul 6683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator