Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax1rid GIF version

Theorem ax1rid 6951
 Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 6991. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1rid (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem ax1rid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 6899 . 2 ℝ = (R × {0R})
2 oveq1 5519 . . 3 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (𝐴 · 1))
3 id 19 . . 3 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴)
42, 3eqeq12d 2054 . 2 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝐴 · 1) = 𝐴))
5 elsni 3393 . . 3 (𝑦 ∈ {0R} → 𝑦 = 0R)
6 df-1 6897 . . . . . . 7 1 = ⟨1R, 0R
76oveq2i 5523 . . . . . 6 (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
8 1sr 6836 . . . . . . . 8 1RR
9 mulresr 6914 . . . . . . . 8 ((𝑥R ∧ 1RR) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
108, 9mpan2 401 . . . . . . 7 (𝑥R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
11 1idsr 6853 . . . . . . . 8 (𝑥R → (𝑥 ·R 1R) = 𝑥)
1211opeq1d 3555 . . . . . . 7 (𝑥R → ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
1310, 12eqtrd 2072 . . . . . 6 (𝑥R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨𝑥, 0R⟩)
147, 13syl5eq 2084 . . . . 5 (𝑥R → (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩)
15 opeq2 3550 . . . . . . 7 (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
1615oveq1d 5527 . . . . . 6 (𝑦 = 0R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · 1))
1716, 15eqeq12d 2054 . . . . 5 (𝑦 = 0R → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩))
1814, 17syl5ibr 145 . . . 4 (𝑦 = 0R → (𝑥R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
1918impcom 116 . . 3 ((𝑥R𝑦 = 0R) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
205, 19sylan2 270 . 2 ((𝑥R𝑦 ∈ {0R}) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
211, 4, 20optocl 4416 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  {csn 3375  ⟨cop 3378  (class class class)co 5512  Rcnr 6395  0Rc0r 6396  1Rc1r 6397   ·R cmr 6400  ℝcr 6888  1c1 6890   · cmul 6894 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-imp 6567  df-enr 6811  df-nr 6812  df-plr 6813  df-mr 6814  df-0r 6816  df-1r 6817  df-m1r 6818  df-c 6895  df-1 6897  df-r 6899  df-mul 6901 This theorem is referenced by:  rereceu  6963  recriota  6964
 Copyright terms: Public domain W3C validator