ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax1rid Structured version   GIF version

Theorem ax1rid 6567
Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 6595. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1rid (A ℝ → (A · 1) = A)

Proof of Theorem ax1rid
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 6531 . 2 ℝ = (R × {0R})
2 oveq1 5432 . . 3 (⟨x, y⟩ = A → (⟨x, y⟩ · 1) = (A · 1))
3 id 19 . . 3 (⟨x, y⟩ = A → ⟨x, y⟩ = A)
42, 3eqeq12d 2028 . 2 (⟨x, y⟩ = A → ((⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩ ↔ (A · 1) = A))
5 elsni 3364 . . 3 (y {0R} → y = 0R)
6 df-1 6529 . . . . . . 7 1 = ⟨1R, 0R
76oveq2i 5436 . . . . . 6 (⟨x, 0R⟩ · 1) = (⟨x, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
8 1sr 6490 . . . . . . . 8 1R R
9 mulresr 6545 . . . . . . . 8 ((x R 1R R) → (⟨x, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(x ·R 1R), 0R⟩)
108, 9mpan2 401 . . . . . . 7 (x R → (⟨x, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(x ·R 1R), 0R⟩)
11 1idsr 6507 . . . . . . . 8 (x R → (x ·R 1R) = x)
1211opeq1d 3519 . . . . . . 7 (x R → ⟨(x ·R 1R), 0R⟩ = ⟨x, 0R⟩)
1310, 12eqtrd 2046 . . . . . 6 (x R → (⟨x, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨x, 0R⟩)
147, 13syl5eq 2058 . . . . 5 (x R → (⟨x, 0R⟩ · 1) = ⟨x, 0R⟩)
15 opeq2 3514 . . . . . . 7 (y = 0R → ⟨x, y⟩ = ⟨x, 0R⟩)
1615oveq1d 5440 . . . . . 6 (y = 0R → (⟨x, y⟩ · 1) = (⟨x, 0R⟩ · 1))
1716, 15eqeq12d 2028 . . . . 5 (y = 0R → ((⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩ ↔ (⟨x, 0R⟩ · 1) = ⟨x, 0R⟩))
1814, 17syl5ibr 145 . . . 4 (y = 0R → (x R → (⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩))
1918impcom 116 . . 3 ((x R y = 0R) → (⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩)
205, 19sylan2 270 . 2 ((x R y {0R}) → (⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩)
211, 4, 20optocl 4332 1 (A ℝ → (A · 1) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1224   wcel 1367  {csn 3340  cop 3343  (class class class)co 5425  Rcnr 6144  0Rc0r 6145  1Rc1r 6146   ·R cmr 6149  cr 6520  1c1 6522   · cmul 6526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1310  ax-7 1311  ax-gen 1312  ax-ie1 1356  ax-ie2 1357  ax-8 1369  ax-10 1370  ax-11 1371  ax-i12 1372  ax-bnd 1373  ax-4 1374  ax-13 1378  ax-14 1379  ax-17 1393  ax-i9 1397  ax-ial 1401  ax-i5r 1402  ax-ext 1996  ax-coll 3836  ax-sep 3839  ax-nul 3847  ax-pow 3891  ax-pr 3908  ax-un 4109  ax-setind 4193  ax-iinf 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1227  df-fal 1230  df-nf 1324  df-sb 1620  df-eu 1877  df-mo 1878  df-clab 2001  df-cleq 2007  df-clel 2010  df-nfc 2141  df-ne 2180  df-ral 2281  df-rex 2282  df-reu 2283  df-rab 2285  df-v 2529  df-sbc 2734  df-csb 2822  df-dif 2889  df-un 2891  df-in 2893  df-ss 2900  df-nul 3194  df-pw 3326  df-sn 3346  df-pr 3347  df-op 3349  df-uni 3545  df-int 3580  df-iun 3623  df-br 3729  df-opab 3783  df-mpt 3784  df-tr 3819  df-eprel 3990  df-id 3994  df-po 3997  df-iso 3998  df-iord 4042  df-on 4044  df-suc 4047  df-iom 4230  df-xp 4267  df-rel 4268  df-cnv 4269  df-co 4270  df-dm 4271  df-rn 4272  df-res 4273  df-ima 4274  df-iota 4783  df-fun 4820  df-fn 4821  df-f 4822  df-f1 4823  df-fo 4824  df-f1o 4825  df-fv 4826  df-ov 5428  df-oprab 5429  df-mpt2 5430  df-1st 5679  df-2nd 5680  df-recs 5831  df-irdg 5867  df-1o 5905  df-2o 5906  df-oadd 5909  df-omul 5910  df-er 6006  df-ec 6008  df-qs 6012  df-ni 6151  df-pli 6152  df-mi 6153  df-lti 6154  df-plpq 6190  df-mpq 6191  df-enq 6193  df-nqqs 6194  df-plqqs 6195  df-mqqs 6196  df-1nqqs 6197  df-rq 6198  df-ltnqqs 6199  df-enq0 6266  df-nq0 6267  df-0nq0 6268  df-plq0 6269  df-mq0 6270  df-inp 6307  df-i1p 6308  df-iplp 6309  df-imp 6310  df-enr 6465  df-nr 6466  df-plr 6467  df-mr 6468  df-0r 6470  df-1r 6471  df-m1r 6472  df-c 6527  df-1 6529  df-r 6531  df-mul 6533
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator