Theorem opeq2 3550

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2100	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
2	1	anbi2d 437	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
3		eqidd 2041	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐶} = {𝐶})
4		preq2 3448	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐶, 𝐴} = {𝐶, 𝐵})
5	3, 4	preq12d 3455	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}} = {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}})
6	5	eleq2d 2107	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}}))
7	2, 6	anbi12d 442	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}}) ↔ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}})))
8		df-3an 887	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}}) ↔ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}}))
9		df-3an 887	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}}) ↔ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}}))
10	7, 8, 9	3bitr4g 212	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}}) ↔ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}})))
11	10	abbidv 2155	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∣ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}})} = {𝑥 ∣ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}})})
12		df-op 3384	. 2 ⊢ ⟨𝐶, 𝐴⟩ = {𝑥 ∣ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}})}
13		df-op 3384	. 2 ⊢ ⟨𝐶, 𝐵⟩ = {𝑥 ∣ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}})}
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2097	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  {cab 2026  Vcvv 2557  {csn 3375  {cpr 3376  ⟨cop 3378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384

This theorem is referenced by:  opeq12  3551  opeq2i  3553  opeq2d  3556  oteq2  3559  oteq3  3560  breq2  3768  cbvopab2  3831  cbvopab2v  3834  opthg  3975  eqvinop  3980  opelopabsb  3997  opelxp  4374  opabid2  4467  elrn2g  4525  opeldm  4538  opeldmg  4540  elrn2  4576  opelresg  4619  iss  4654  elimasng  4693  issref  4707  dmsnopg  4792  cnvsng  4806  elxp4  4808  elxp5  4809  dffun5r  4914  funopg  4934  f1osng  5167  tz6.12f  5202  fsn  5335  fsng  5336  fvsng  5359  oveq2  5520  cbvoprab2  5577  ovg  5639  opabex3d  5748  opabex3  5749  op1stg  5777  op2ndg  5778  op1steq  5805  dfoprab4f  5819  tfrlemibxssdm  5941  xpsnen  6295  xpassen  6304  elreal  6905  ax1rid  6951  fseq1p1m1  8956