Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elreal 6727 |
. 2
⊢ (A ∈ ℝ ↔
∃x ∈ R 〈x, 0R〉 = A) |
2 | | elreal 6727 |
. 2
⊢ (B ∈ ℝ ↔
∃y ∈ R 〈y, 0R〉 = B) |
3 | | elreal 6727 |
. 2
⊢ (𝐶 ∈ ℝ ↔ ∃z ∈ R 〈z, 0R〉 = 𝐶) |
4 | | oveq1 5462 |
. . . 4
⊢
(〈x,
0R〉 = A
→ (〈x,
0R〉 · 〈z, 0R〉) = (A · 〈z,
0R〉)) |
5 | 4 | breq1d 3765 |
. . 3
⊢
(〈x,
0R〉 = A
→ ((〈x,
0R〉 · 〈z, 0R〉)
<ℝ (〈y,
0R〉 · 〈z, 0R〉) ↔
(A · 〈z, 0R〉)
<ℝ (〈y,
0R〉 · 〈z,
0R〉))) |
6 | | breq1 3758 |
. . . 4
⊢
(〈x,
0R〉 = A
→ (〈x,
0R〉 <ℝ 〈y, 0R〉 ↔ A <ℝ 〈y,
0R〉)) |
7 | | breq2 3759 |
. . . 4
⊢
(〈x,
0R〉 = A
→ (〈y,
0R〉 <ℝ 〈x, 0R〉 ↔
〈y, 0R〉
<ℝ A)) |
8 | 6, 7 | orbi12d 706 |
. . 3
⊢
(〈x,
0R〉 = A
→ ((〈x,
0R〉 <ℝ 〈y, 0R〉 ∨ 〈y,
0R〉 <ℝ 〈x, 0R〉) ↔
(A <ℝ 〈y, 0R〉 ∨ 〈y,
0R〉 <ℝ A))) |
9 | 5, 8 | imbi12d 223 |
. 2
⊢
(〈x,
0R〉 = A
→ (((〈x,
0R〉 · 〈z, 0R〉)
<ℝ (〈y,
0R〉 · 〈z, 0R〉) →
(〈x, 0R〉
<ℝ 〈y,
0R〉 ∨
〈y, 0R〉
<ℝ 〈x,
0R〉)) ↔ ((A · 〈z, 0R〉)
<ℝ (〈y,
0R〉 · 〈z, 0R〉) →
(A <ℝ 〈y, 0R〉 ∨ 〈y,
0R〉 <ℝ A)))) |
10 | | oveq1 5462 |
. . . 4
⊢
(〈y,
0R〉 = B
→ (〈y,
0R〉 · 〈z, 0R〉) = (B · 〈z,
0R〉)) |
11 | 10 | breq2d 3767 |
. . 3
⊢
(〈y,
0R〉 = B
→ ((A · 〈z, 0R〉)
<ℝ (〈y,
0R〉 · 〈z, 0R〉) ↔
(A · 〈z, 0R〉)
<ℝ (B ·
〈z,
0R〉))) |
12 | | breq2 3759 |
. . . 4
⊢
(〈y,
0R〉 = B
→ (A <ℝ
〈y, 0R〉
↔ A <ℝ B)) |
13 | | breq1 3758 |
. . . 4
⊢
(〈y,
0R〉 = B
→ (〈y,
0R〉 <ℝ A ↔ B
<ℝ A)) |
14 | 12, 13 | orbi12d 706 |
. . 3
⊢
(〈y,
0R〉 = B
→ ((A <ℝ
〈y, 0R〉
∨ 〈y,
0R〉 <ℝ A) ↔ (A
<ℝ B ∨ B
<ℝ A))) |
15 | 11, 14 | imbi12d 223 |
. 2
⊢
(〈y,
0R〉 = B
→ (((A · 〈z, 0R〉)
<ℝ (〈y,
0R〉 · 〈z, 0R〉) →
(A <ℝ 〈y, 0R〉 ∨ 〈y,
0R〉 <ℝ A)) ↔ ((A
· 〈z,
0R〉) <ℝ (B · 〈z, 0R〉) →
(A <ℝ B ∨ B <ℝ A)))) |
16 | | oveq2 5463 |
. . . 4
⊢
(〈z,
0R〉 = 𝐶 → (A · 〈z, 0R〉) = (A · 𝐶)) |
17 | | oveq2 5463 |
. . . 4
⊢
(〈z,
0R〉 = 𝐶 → (B · 〈z, 0R〉) = (B · 𝐶)) |
18 | 16, 17 | breq12d 3768 |
. . 3
⊢
(〈z,
0R〉 = 𝐶 → ((A · 〈z, 0R〉)
<ℝ (B ·
〈z, 0R〉)
↔ (A · 𝐶) <ℝ (B · 𝐶))) |
19 | 18 | imbi1d 220 |
. 2
⊢
(〈z,
0R〉 = 𝐶 → (((A · 〈z, 0R〉)
<ℝ (B ·
〈z, 0R〉)
→ (A <ℝ B ∨ B <ℝ A)) ↔ ((A
· 𝐶)
<ℝ (B · 𝐶) → (A <ℝ B ∨ B <ℝ A)))) |
20 | | mulextsr1 6707 |
. . 3
⊢
((x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R) → ((x ·R z) <R (y ·R z) → (x
<R y ∨ y
<R x))) |
21 | | mulresr 6735 |
. . . . . 6
⊢
((x ∈ R ∧ z ∈ R) → (〈x, 0R〉 ·
〈z, 0R〉)
= 〈(x
·R z),
0R〉) |
22 | 21 | 3adant2 922 |
. . . . 5
⊢
((x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R) → (〈x, 0R〉 ·
〈z, 0R〉)
= 〈(x
·R z),
0R〉) |
23 | | mulresr 6735 |
. . . . . 6
⊢
((y ∈ R ∧ z ∈ R) → (〈y, 0R〉 ·
〈z, 0R〉)
= 〈(y
·R z),
0R〉) |
24 | 23 | 3adant1 921 |
. . . . 5
⊢
((x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R) → (〈y, 0R〉 ·
〈z, 0R〉)
= 〈(y
·R z),
0R〉) |
25 | 22, 24 | breq12d 3768 |
. . . 4
⊢
((x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R) → ((〈x, 0R〉 ·
〈z, 0R〉)
<ℝ (〈y,
0R〉 · 〈z, 0R〉) ↔
〈(x ·R
z), 0R〉
<ℝ 〈(y
·R z),
0R〉)) |
26 | | ltresr 6736 |
. . . 4
⊢
(〈(x
·R z),
0R〉 <ℝ 〈(y ·R z), 0R〉 ↔
(x ·R
z) <R (y ·R z)) |
27 | 25, 26 | syl6bb 185 |
. . 3
⊢
((x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R) → ((〈x, 0R〉 ·
〈z, 0R〉)
<ℝ (〈y,
0R〉 · 〈z, 0R〉) ↔
(x ·R
z) <R (y ·R z))) |
28 | | ltresr 6736 |
. . . . 5
⊢
(〈x,
0R〉 <ℝ 〈y, 0R〉 ↔ x <R y) |
29 | | ltresr 6736 |
. . . . 5
⊢
(〈y,
0R〉 <ℝ 〈x, 0R〉 ↔ y <R x) |
30 | 28, 29 | orbi12i 680 |
. . . 4
⊢
((〈x,
0R〉 <ℝ 〈y, 0R〉 ∨ 〈y,
0R〉 <ℝ 〈x, 0R〉) ↔
(x <R y ∨ y <R x)) |
31 | 30 | a1i 9 |
. . 3
⊢
((x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R) → ((〈x, 0R〉
<ℝ 〈y,
0R〉 ∨
〈y, 0R〉
<ℝ 〈x,
0R〉) ↔ (x <R y ∨ y <R x))) |
32 | 20, 27, 31 | 3imtr4d 192 |
. 2
⊢
((x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R) → ((〈x, 0R〉 ·
〈z, 0R〉)
<ℝ (〈y,
0R〉 · 〈z, 0R〉) →
(〈x, 0R〉
<ℝ 〈y,
0R〉 ∨
〈y, 0R〉
<ℝ 〈x,
0R〉))) |
33 | 1, 2, 3, 9, 15, 19, 32 | 3gencl 2582 |
1
⊢
((A ∈ ℝ ∧
B ∈
ℝ ∧ 𝐶 ∈
ℝ) → ((A · 𝐶) <ℝ
(B · 𝐶) → (A <ℝ B ∨ B <ℝ A))) |