ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltadd Structured version   GIF version

Theorem axpre-ltadd 6575
Description: Ordering property of addition on reals. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 6603. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltadd ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))

Proof of Theorem axpre-ltadd
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6536 . . 3 (A ℝ ↔ x Rx, 0R⟩ = A)
2 elreal 6536 . . 3 (B ℝ ↔ y Ry, 0R⟩ = B)
3 elreal 6536 . . 3 (𝐶 ℝ ↔ z Rz, 0R⟩ = 𝐶)
4 breq1 3730 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ A <y, 0R⟩))
5 oveq2 5432 . . . . 5 (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) = (⟨z, 0R⟩ + A))
65breq1d 3737 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)))
74, 6bibi12d 224 . . 3 (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)) ↔ (A <y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩))))
8 breq2 3731 . . . 4 (⟨y, 0R⟩ = B → (A <y, 0R⟩ ↔ A < B))
9 oveq2 5432 . . . . 5 (⟨y, 0R⟩ = B → (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) = (⟨z, 0R⟩ + B))
109breq2d 3739 . . . 4 (⟨y, 0R⟩ = B → ((⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B)))
118, 10bibi12d 224 . . 3 (⟨y, 0R⟩ = B → ((A <y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)) ↔ (A < B ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B))))
12 oveq1 5431 . . . . 5 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → (⟨z, 0R⟩ + A) = (𝐶 + A))
13 oveq1 5431 . . . . 5 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → (⟨z, 0R⟩ + B) = (𝐶 + B))
1412, 13breq12d 3740 . . . 4 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → ((⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B) ↔ (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))
1514bibi2d 221 . . 3 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → ((A < B ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B)) ↔ (A < B ↔ (𝐶 + A) < (𝐶 + B))))
16 ltasrg 6508 . . . 4 ((x R y R z R) → (x <R y ↔ (z +R x) <R (z +R y)))
17 ltresr 6545 . . . . 5 (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ x <R y)
1817a1i 9 . . . 4 ((x R y R z R) → (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ x <R y))
19 simp3 888 . . . . . 6 ((x R y R z R) → z R)
20 simp1 886 . . . . . 6 ((x R y R z R) → x R)
21 simp2 887 . . . . . 6 ((x R y R z R) → y R)
22 addresr 6543 . . . . . . 7 ((z R x R) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) = ⟨(z +R x), 0R⟩)
23 addresr 6543 . . . . . . 7 ((z R y R) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) = ⟨(z +R y), 0R⟩)
2422, 23breqan12d 3742 . . . . . 6 (((z R x R) (z R y R)) → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ ⟨(z +R x), 0R⟩ < ⟨(z +R y), 0R⟩))
2519, 20, 19, 21, 24syl22anc 1117 . . . . 5 ((x R y R z R) → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ ⟨(z +R x), 0R⟩ < ⟨(z +R y), 0R⟩))
26 ltresr 6545 . . . . 5 (⟨(z +R x), 0R⟩ < ⟨(z +R y), 0R⟩ ↔ (z +R x) <R (z +R y))
2725, 26syl6bb 185 . . . 4 ((x R y R z R) → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ (z +R x) <R (z +R y)))
2816, 18, 273bitr4d 209 . . 3 ((x R y R z R) → (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)))
291, 2, 3, 7, 11, 15, 283gencl 2556 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B ↔ (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))
3029biimpd 132 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 867   = wceq 1223   wcel 1366  cop 3342   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  Rcnr 6143  0Rc0r 6144   +R cplr 6147   <R cltr 6149  cr 6519   + caddc 6523   < cltrr 6524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-i1p 6307  df-iplp 6308  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-plr 6466  df-ltr 6468  df-0r 6469  df-c 6526  df-r 6530  df-add 6531  df-lt 6533
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator