ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltadd Structured version   GIF version

Theorem axpre-ltadd 6730
Description: Ordering property of addition on reals. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 6759. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltadd ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))

Proof of Theorem axpre-ltadd
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6687 . . 3 (A ℝ ↔ x Rx, 0R⟩ = A)
2 elreal 6687 . . 3 (B ℝ ↔ y Ry, 0R⟩ = B)
3 elreal 6687 . . 3 (𝐶 ℝ ↔ z Rz, 0R⟩ = 𝐶)
4 breq1 3758 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ A <y, 0R⟩))
5 oveq2 5463 . . . . 5 (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) = (⟨z, 0R⟩ + A))
65breq1d 3765 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)))
74, 6bibi12d 224 . . 3 (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)) ↔ (A <y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩))))
8 breq2 3759 . . . 4 (⟨y, 0R⟩ = B → (A <y, 0R⟩ ↔ A < B))
9 oveq2 5463 . . . . 5 (⟨y, 0R⟩ = B → (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) = (⟨z, 0R⟩ + B))
109breq2d 3767 . . . 4 (⟨y, 0R⟩ = B → ((⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B)))
118, 10bibi12d 224 . . 3 (⟨y, 0R⟩ = B → ((A <y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)) ↔ (A < B ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B))))
12 oveq1 5462 . . . . 5 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → (⟨z, 0R⟩ + A) = (𝐶 + A))
13 oveq1 5462 . . . . 5 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → (⟨z, 0R⟩ + B) = (𝐶 + B))
1412, 13breq12d 3768 . . . 4 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → ((⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B) ↔ (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))
1514bibi2d 221 . . 3 (⟨z, 0R⟩ = 𝐶 → ((A < B ↔ (⟨z, 0R⟩ + A) < (⟨z, 0R⟩ + B)) ↔ (A < B ↔ (𝐶 + A) < (𝐶 + B))))
16 ltasrg 6658 . . . 4 ((x R y R z R) → (x <R y ↔ (z +R x) <R (z +R y)))
17 ltresr 6696 . . . . 5 (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ x <R y)
1817a1i 9 . . . 4 ((x R y R z R) → (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ x <R y))
19 simp3 905 . . . . . 6 ((x R y R z R) → z R)
20 simp1 903 . . . . . 6 ((x R y R z R) → x R)
21 simp2 904 . . . . . 6 ((x R y R z R) → y R)
22 addresr 6694 . . . . . . 7 ((z R x R) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) = ⟨(z +R x), 0R⟩)
23 addresr 6694 . . . . . . 7 ((z R y R) → (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) = ⟨(z +R y), 0R⟩)
2422, 23breqan12d 3770 . . . . . 6 (((z R x R) (z R y R)) → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ ⟨(z +R x), 0R⟩ < ⟨(z +R y), 0R⟩))
2519, 20, 19, 21, 24syl22anc 1135 . . . . 5 ((x R y R z R) → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ ⟨(z +R x), 0R⟩ < ⟨(z +R y), 0R⟩))
26 ltresr 6696 . . . . 5 (⟨(z +R x), 0R⟩ < ⟨(z +R y), 0R⟩ ↔ (z +R x) <R (z +R y))
2725, 26syl6bb 185 . . . 4 ((x R y R z R) → ((⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ↔ (z +R x) <R (z +R y)))
2816, 18, 273bitr4d 209 . . 3 ((x R y R z R) → (⟨x, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ (⟨z, 0R⟩ + ⟨x, 0R⟩) < (⟨z, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩)))
291, 2, 3, 7, 11, 15, 283gencl 2582 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B ↔ (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))
3029biimpd 132 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Rcnr 6281  0Rc0r 6282   +R cplr 6285   <R cltr 6287  cr 6670   + caddc 6674   < cltrr 6675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-plr 6616  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-c 6677  df-r 6681  df-add 6682  df-lt 6684
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator