Theorem axpre-mulgt0 6771

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 6800. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-mulgt0	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (( 0 <RR A /\ 0 <RR B) -> 0 <RR (A x. B)))

Proof of Theorem axpre-mulgt0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 6727	. 2 |- (A e. RR <-> E.x e. R. <.x , 0R >. = A)
2		elreal 6727	. 2 |- (B e. RR <-> E.y e. R. <.y , 0R >. = B)
3		breq2 3759	. . . 4 |- ( <.x , 0R >. = A -> ( 0 <RR <.x , 0R >. <-> 0 <RR A))
4	3	anbi1d 438	. . 3 |- ( <.x , 0R >. = A -> (( 0 <RR <.x , 0R >. /\ 0 <RR <.y , 0R >.) <-> ( 0 <RR A /\ 0 <RR <.y , 0R >.)))
5		oveq1 5462	. . . 4 |- ( <.x , 0R >. = A -> ( <.x , 0R >. x. <.y , 0R >.) = (A x. <.y , 0R >.))
6	5	breq2d 3767	. . 3 |- ( <.x , 0R >. = A -> ( 0 <RR ( <.x , 0R >. x. <.y , 0R >.) <-> 0 <RR (A x. <.y , 0R >.)))
7	4, 6	imbi12d 223	. 2 |- ( <.x , 0R >. = A -> ((( 0 <RR <.x , 0R >. /\ 0 <RR <.y , 0R >.) -> 0 <RR ( <.x , 0R >. x. <.y , 0R >.)) <-> (( 0 <RR A /\ 0 <RR <.y , 0R >.) -> 0 <RR (A x. <.y , 0R >.))))
8		breq2 3759	. . . 4 |- ( <.y , 0R >. = B -> ( 0 <RR <.y , 0R >. <-> 0 <RR B))
9	8	anbi2d 437	. . 3 |- ( <.y , 0R >. = B -> (( 0 <RR A /\ 0 <RR <.y , 0R >.) <-> ( 0 <RR A /\ 0 <RR B)))
10		oveq2 5463	. . . 4 |- ( <.y , 0R >. = B -> (A x. <.y , 0R >.) = (A x. B))
11	10	breq2d 3767	. . 3 |- ( <.y , 0R >. = B -> ( 0 <RR (A x. <.y , 0R >.) <-> 0 <RR (A x. B)))
12	9, 11	imbi12d 223	. 2 |- ( <.y , 0R >. = B -> ((( 0 <RR A /\ 0 <RR <.y , 0R >.) -> 0 <RR (A x. <.y , 0R >.)) <-> (( 0 <RR A /\ 0 <RR B) -> 0 <RR (A x. B))))
13		df-0 6718	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
14	13	breq1i 3762	. . . . 5 |- ( 0 <RR <.x , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <.x , 0R >.)
15		ltresr 6736	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <.x , 0R >. <-> 0R <R x)
16	14, 15	bitri 173	. . . 4 |- ( 0 <RR <.x , 0R >. <-> 0R <R x)
17	13	breq1i 3762	. . . . 5 |- ( 0 <RR <.y , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <.y , 0R >.)
18		ltresr 6736	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <.y , 0R >. <-> 0R <R y)
19	17, 18	bitri 173	. . . 4 |- ( 0 <RR <.y , 0R >. <-> 0R <R y)
20		mulgt0sr 6704	. . . 4 |- (( 0R <R x /\ 0R <R y) -> 0R <R (x .R y))
21	16, 19, 20	syl2anb 275	. . 3 |- (( 0 <RR <.x , 0R >. /\ 0 <RR <.y , 0R >.) -> 0R <R (x .R y))
22	13	a1i 9	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> 0 = <. 0R , 0R >.)
23		mulresr 6735	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ( <.x , 0R >. x. <.y , 0R >.) = <.(x .R y) , 0R >.)
24	22, 23	breq12d 3768	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ( 0 <RR ( <.x , 0R >. x. <.y , 0R >.) <-> <. 0R , 0R >. <RR <.(x .R y) , 0R >.))
25		ltresr 6736	. . . 4 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <.(x .R y) , 0R >. <-> 0R <R (x .R y))
26	24, 25	syl6bb 185	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ( 0 <RR ( <.x , 0R >. x. <.y , 0R >.) <-> 0R <R (x .R y)))
27	21, 26	syl5ibr 145	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (( 0 <RR <.x , 0R >. /\ 0 <RR <.y , 0R >.) -> 0 <RR ( <.x , 0R >. x. <.y , 0R >.)))
28	1, 2, 7, 12, 27	2gencl 2581	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (( 0 <RR A /\ 0 <RR B) -> 0 <RR (A x. B)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1242   e. wcel 1390   <.cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   R.cnr 6281   0Rc0r 6282   .R cmr 6286   <R cltr 6287   RRcr 6710   0cc0 6711   <RR cltrr 6715   x. cmul 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-imp 6452  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656  df-mr 6657  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-m1r 6661  df-c 6717  df-0 6718  df-r 6721  df-mul 6723  df-lt 6724

This theorem is referenced by: (None)