Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Unicode version

Theorem axpre-mulgt0 6942
 Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 6982. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6886 . 2
2 elreal 6886 . 2
3 breq2 3765 . . . 4
43anbi1d 438 . . 3
5 oveq1 5506 . . . 4
65breq2d 3773 . . 3
74, 6imbi12d 223 . 2
8 breq2 3765 . . . 4
98anbi2d 437 . . 3
10 oveq2 5507 . . . 4
1110breq2d 3773 . . 3
129, 11imbi12d 223 . 2
13 df-0 6877 . . . . . 6
1413breq1i 3768 . . . . 5
15 ltresr 6896 . . . . 5
1614, 15bitri 173 . . . 4
1713breq1i 3768 . . . . 5
18 ltresr 6896 . . . . 5
1917, 18bitri 173 . . . 4
20 mulgt0sr 6843 . . . 4
2116, 19, 20syl2anb 275 . . 3
2213a1i 9 . . . . 5
23 mulresr 6895 . . . . 5
2422, 23breq12d 3774 . . . 4
25 ltresr 6896 . . . 4
2624, 25syl6bb 185 . . 3
2721, 26syl5ibr 145 . 2
281, 2, 7, 12, 272gencl 2584 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1243   wcel 1393  cop 3375   class class class wbr 3761  (class class class)co 5499  cnr 6376  c0r 6377   cmr 6381   cltr 6382  cr 6869  cc0 6870   cltrr 6874   cmul 6875 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-setind 4256  ax-iinf 4298 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4099  df-on 4101  df-suc 4104  df-iom 4301  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-f1 4894  df-fo 4895  df-f1o 4896  df-fv 4897  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-1st 5754  df-2nd 5755  df-recs 5907  df-irdg 5944  df-1o 5988  df-2o 5989  df-oadd 5992  df-omul 5993  df-er 6093  df-ec 6095  df-qs 6099  df-ni 6383  df-pli 6384  df-mi 6385  df-lti 6386  df-plpq 6423  df-mpq 6424  df-enq 6426  df-nqqs 6427  df-plqqs 6428  df-mqqs 6429  df-1nqqs 6430  df-rq 6431  df-ltnqqs 6432  df-enq0 6503  df-nq0 6504  df-0nq0 6505  df-plq0 6506  df-mq0 6507  df-inp 6545  df-i1p 6546  df-iplp 6547  df-imp 6548  df-iltp 6549  df-enr 6792  df-nr 6793  df-plr 6794  df-mr 6795  df-ltr 6796  df-0r 6797  df-m1r 6799  df-c 6876  df-0 6877  df-r 6880  df-mul 6882  df-lt 6883 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator