ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Unicode version

Theorem axpre-mulgt0 6771
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 6800. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0  RR  RR  0  <RR  0  <RR  0  <RR  x.

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6727 . 2  RR  R.  <. ,  0R >.
2 elreal 6727 . 2  RR  R.  <. ,  0R >.
3 breq2 3759 . . . 4  <. ,  0R >.  0  <RR  <. ,  0R >.  0  <RR
43anbi1d 438 . . 3  <. ,  0R >.  0  <RR  <. ,  0R >.  0  <RR 
<. ,  0R >.  0  <RR  0  <RR  <. ,  0R >.
5 oveq1 5462 . . . 4  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.
65breq2d 3767 . . 3  <. ,  0R >.  0  <RR  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >. 
0  <RR  x.  <. ,  0R >.
74, 6imbi12d 223 . 2  <. ,  0R >.  0 
<RR  <. ,  0R >.  0  <RR  <. ,  0R >.  0  <RR  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  0  <RR  0  <RR 
<. ,  0R >.  0  <RR  x.  <. ,  0R >.
8 breq2 3759 . . . 4  <. ,  0R >.  0  <RR  <. ,  0R >.  0  <RR
98anbi2d 437 . . 3  <. ,  0R >.  0  <RR  0  <RR  <. ,  0R >.  0 
<RR  0  <RR
10 oveq2 5463 . . . 4  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  x.
1110breq2d 3767 . . 3  <. ,  0R >.  0  <RR  x.  <. ,  0R >.  0  <RR  x.
129, 11imbi12d 223 . 2  <. ,  0R >.  0 
<RR  0  <RR  <. ,  0R >.  0  <RR  x.  <. ,  0R >.  0  <RR  0  <RR  0  <RR  x.
13 df-0 6718 . . . . . 6  0  <. 0R ,  0R >.
1413breq1i 3762 . . . . 5  0 
<RR  <. ,  0R >. 
<. 0R ,  0R >.  <RR  <. ,  0R >.
15 ltresr 6736 . . . . 5  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. ,  0R >.  0R  <R
1614, 15bitri 173 . . . 4  0 
<RR  <. ,  0R >.  0R  <R
1713breq1i 3762 . . . . 5  0 
<RR  <. ,  0R >. 
<. 0R ,  0R >.  <RR  <. ,  0R >.
18 ltresr 6736 . . . . 5  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. ,  0R >.  0R  <R
1917, 18bitri 173 . . . 4  0 
<RR  <. ,  0R >.  0R  <R
20 mulgt0sr 6704 . . . 4  0R  <R  0R  <R 
0R  <R  .R
2116, 19, 20syl2anb 275 . . 3  0  <RR  <. ,  0R >.  0  <RR  <. ,  0R >.  0R  <R  .R
2213a1i 9 . . . . 5  R.  R.  0  <. 0R ,  0R >.
23 mulresr 6735 . . . . 5  R.  R.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  <.  .R  ,  0R >.
2422, 23breq12d 3768 . . . 4  R.  R.  0  <RR  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  <. 0R ,  0R >.  <RR  <.  .R  ,  0R >.
25 ltresr 6736 . . . 4  <. 0R ,  0R >.  <RR  <.  .R  ,  0R >.  0R  <R  .R
2624, 25syl6bb 185 . . 3  R.  R.  0  <RR  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  0R  <R  .R
2721, 26syl5ibr 145 . 2  R.  R.  0  <RR  <. ,  0R >.  0  <RR 
<. ,  0R >.  0  <RR  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.
281, 2, 7, 12, 272gencl 2581 1  RR  RR  0  <RR  0  <RR  0  <RR  x.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   <.cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   R.cnr 6281   0Rc0r 6282    .R cmr 6286    <R cltr 6287   RRcr 6710   0cc0 6711    <RR cltrr 6715    x. cmul 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-imp 6452  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656  df-mr 6657  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-m1r 6661  df-c 6717  df-0 6718  df-r 6721  df-mul 6723  df-lt 6724
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator