Theorem nn0seqcvgd 9880

Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term N reaches zero by the N th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0seqcvgd.1	|- ( ph -> F : NN0 --> NN0 )
nn0seqcvgd.2	|- ( ph -> N = ( F ` 0 ) )
nn0seqcvgd.3	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nn0seqcvgd	|- ( ph -> ( F ` N ) = 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, N   ph, k

Proof of Theorem nn0seqcvgd

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0seqcvgd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> N = ( F ` 0 ) )
2		nn0seqcvgd.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN0 --> NN0 )
3		0nn0 8196	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
4		ffvelrn 5300	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN0 --> NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. NN0 )
5	2, 3, 4	sylancl 392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. NN0 )
6	1, 5	eqeltrd 2114	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
7	6	nn0red 8236	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR )
8	7	leidd 7506	. . . . 5 |- ( ph -> N <_ N )
9		fveq2 5178	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( F ` m ) = ( F ` 0 ) )
10		oveq2 5520	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( N - m ) = ( N - 0 ) )
11	9, 10	breq12d 3777	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) )
12	11	imbi2d 219	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) ) )
13		fveq2 5178	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
14		oveq2 5520	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( N - m ) = ( N - k ) )
15	13, 14	breq12d 3777	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) )
16	15	imbi2d 219	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) ) )
17		fveq2 5178	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
18		oveq2 5520	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( N - m ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
19	17, 18	breq12d 3777	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
20	19	imbi2d 219	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
21		fveq2 5178	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( F ` m ) = ( F ` N ) )
22		oveq2 5520	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( N - m ) = ( N - N ) )
23	21, 22	breq12d 3777	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
24	23	imbi2d 219	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) ) )
25	1, 8	eqbrtrrd 3786	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ N )
26	7	recnd 7054	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. CC )
27	26	subid1d 7311	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 0 ) = N )
28	25, 27	breqtrrd 3790	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) )
29	28	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) )
30		nn0re 8190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
31		posdif 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
32	30, 7, 31	syl2anr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
33	32	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
34		breq1 3767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> 0 < ( N - k ) ) )
35	34	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> 0 < ( N - k ) ) )
36		peano2nn0 8222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
37		ffvelrn 5300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : NN0 --> NN0 /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
38	2, 36, 37	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
39	38	nn0zd 8358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
40	6	nn0zd 8358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. ZZ )
41		nn0z 8265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
42		zsubcl 8286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N - k ) e. ZZ )
43	40, 41, 42	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N - k ) e. ZZ )
44		zltlem1 8301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - k ) e. ZZ ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) ) )
45	39, 43, 44	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) ) )
46		nn0cn 8191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
47		ax-1cn 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
48		subsub4 7244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
49	47, 48	mp3an3 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
50	26, 46, 49	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
51	50	breq2d 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
52	45, 51	bitrd 177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
53	52	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
54	33, 35, 53	3bitr2d 205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( k < N <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
55	54	biimpa 280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) /\ k < N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) )
56	55	an32s 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) )
57	56	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
58		nn0seqcvgd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) ) )
59	38	nn0red 8236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
60	2	ffvelrnda 5302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. NN0 )
61	60	nn0red 8236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR )
62	43	zred 8360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N - k ) e. RR )
63		ltletr 7107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( F ` k ) e. RR /\ ( N - k ) e. RR ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) ) )
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) ) )
65	64, 52	sylibd 138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
66	58, 65	syland 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
67	66	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
68	67	expdimp 246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
69	39	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
70		0zd 8257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> 0 e. ZZ )
71		zdceq 8316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 )
72	69, 70, 71	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 )
73		dcne 2216	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 \/ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
74	72, 73	sylib 127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 \/ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
75	57, 68, 74	mpjaodan 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
76	75	anasss 379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ k < N ) ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
77	76	expcom 109	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ph -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
78	77	a2d 23	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
79	78	3adant1 922	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
80	12, 16, 20, 24, 29, 79	fnn0ind 8354	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. NN0 /\ N <_ N ) -> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
81	6, 6, 8, 80	syl3anc 1135	. . . 4 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
82	81	pm2.43i 43	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) )
83	26	subidd 7310	. . 3 |- ( ph -> ( N - N ) = 0 )
84	82, 83	breqtrd 3788	. 2 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ 0 )
85	2, 6	ffvelrnd 5303	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) e. NN0 )
86	85	nn0ge0d 8238	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` N ) )
87	85	nn0red 8236	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
88		0re 7027	. . 3 |- 0 e. RR
89		letri3 7099	. . 3 |- ( ( ( F ` N ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( F ` N ) = 0 <-> ( ( F ` N ) <_ 0 /\ 0 <_ ( F ` N ) ) ) )
90	87, 88, 89	sylancl 392	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) = 0 <-> ( ( F ` N ) <_ 0 /\ 0 <_ ( F ` N ) ) ) )
91	84, 86, 90	mpbir2and 851	1 |- ( ph -> ( F ` N ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629  DECID wdc 742   = wceq 1243   e. wcel 1393   =/= wne 2204   class class class wbr 3764   -->wf 4898   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   <_ cle 7061   - cmin 7182   NN0cn0 8181   ZZcz 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246

This theorem is referenced by:  ialgcvg  9887