Theorem serile 9253

Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
serige0.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
serige0.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
serile.3	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
serile.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
serile	|- ( ph -> ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) <_ ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem serile

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serige0.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		vex 2560	. . . . . 6 |- k e. _V
3		serile.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
4		serige0.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
5	3, 4	resubcld 7379	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) e. RR )
6		fveq2 5178	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
7		fveq2 5178	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
8	6, 7	oveq12d 5530	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
9		eqid 2040	. . . . . . 7 |- ( x e. _V |-> ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) ) = ( x e. _V |-> ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) )
10	8, 9	fvmptg 5248	. . . . . 6 |- ( ( k e. _V /\ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( x e. _V |-> ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
11	2, 5, 10	sylancr 393	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( x e. _V |-> ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
12	11, 5	eqeltrd 2114	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( x e. _V |-> ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) ) ` k ) e. RR )
13		serile.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
14	3, 4	subge0d 7526	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 0 <_ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) <-> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) ) )
15	13, 14	mpbird 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
16	15, 11	breqtrrd 3790	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ ( ( x e. _V |-> ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) ) ` k ) )
17	1, 12, 16	serige0 9252	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , ( x e. _V |-> ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) ) , CC ) ` N ) )
18	3	recnd 7054	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
19	4	recnd 7054	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
20	1, 18, 19, 11	isersub 9244	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( x e. _V |-> ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) ) , CC ) ` N ) = ( ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) ) )
21	17, 20	breqtrd 3788	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) ) )
22		eluzel2 8478	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
23	1, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
24		cnex 7005	. . . . . . 7 |- CC e. _V
25	24	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> CC e. _V )
26		ax-resscn 6976	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
27	26	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
28		readdcl 7007	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR /\ x e. RR ) -> ( k + x ) e. RR )
29	28	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. RR /\ x e. RR ) ) -> ( k + x ) e. RR )
30		addcl 7006	. . . . . . 7 |- ( ( k e. CC /\ x e. CC ) -> ( k + x ) e. CC )
31	30	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k + x ) e. CC )
32	23, 25, 27, 3, 29, 31	iseqss 9226	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , G , RR ) = seq M ( + , G , CC ) )
33	32	fveq1d 5180	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( + , G , RR ) ` N ) = ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) )
34		reex 7015	. . . . . 6 |- RR e. _V
35	34	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. _V )
36	1, 35, 3, 29	iseqcl 9223	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( + , G , RR ) ` N ) e. RR )
37	33, 36	eqeltrrd 2115	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) e. RR )
38	23, 25, 27, 4, 29, 31	iseqss 9226	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , F , RR ) = seq M ( + , F , CC ) )
39	38	fveq1d 5180	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( + , F , RR ) ` N ) = ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) )
40	1, 35, 4, 29	iseqcl 9223	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( + , F , RR ) ` N ) e. RR )
41	39, 40	eqeltrrd 2115	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) e. RR )
42	37, 41	subge0d 7526	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) ) <-> ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) <_ ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) ) )
43	21, 42	mpbid 135	1 |- ( ph -> ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) <_ ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   class class class wbr 3764   |-> cmpt 3818   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   0cc0 6889   + caddc 6892   <_ cle 7061   - cmin 7182   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   seqcseq 9211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000  df-iseq 9212

This theorem is referenced by:  iserile  9862