Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  serile GIF version

Theorem serile 9253
 Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
serige0.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
serige0.2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
serile.3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
serile.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
serile (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem serile
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serige0.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 vex 2560 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
3 serile.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4 serige0.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
53, 4resubcld 7379 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6 fveq2 5178 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑘))
7 fveq2 5178 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
86, 7oveq12d 5530 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
9 eqid 2040 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
108, 9fvmptg 5248 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ V ∧ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
112, 5, 10sylancr 393 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
1211, 5eqeltrd 2114 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) ∈ ℝ)
13 serile.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
143, 4subge0d 7526 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘)))
1513, 14mpbird 156 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
1615, 11breqtrrd 3790 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘))
171, 12, 16serige0 9252 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))), ℂ)‘𝑁))
183recnd 7054 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
194recnd 7054 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
201, 18, 19, 11isersub 9244 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))), ℂ)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)))
2117, 20breqtrd 3788 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)))
22 eluzel2 8478 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
231, 22syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
24 cnex 7005 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2524a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
26 ax-resscn 6976 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2726a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
28 readdcl 7007 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
2928adantl 262 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
30 addcl 7006 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
3130adantl 262 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
3223, 25, 27, 3, 29, 31iseqss 9226 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℝ) = seq𝑀( + , 𝐺, ℂ))
3332fveq1d 5180 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺, ℝ)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁))
34 reex 7015 . . . . . 6 ℝ ∈ V
3534a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
361, 35, 3, 29iseqcl 9223 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺, ℝ)‘𝑁) ∈ ℝ)
3733, 36eqeltrrd 2115 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁) ∈ ℝ)
3823, 25, 27, 4, 29, 31iseqss 9226 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℝ) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
3938fveq1d 5180 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))
401, 35, 4, 29iseqcl 9223 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑁) ∈ ℝ)
4139, 40eqeltrrd 2115 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ∈ ℝ)
4237, 41subge0d 7526 . 2 (𝜑 → (0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁)))
4321, 42mpbid 135 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917   class class class wbr 3764   ↦ cmpt 3818  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889   + caddc 6892   ≤ cle 7061   − cmin 7182  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473  seqcseq 9211 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000  df-iseq 9212 This theorem is referenced by:  iserile  9862
 Copyright terms: Public domain W3C validator