Theorem frecfzen2 8885

Description: The cardinality of a finite set of sequential integers with arbitrary endpoints. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	|- G = frec((x e. ZZ |-> (x + 1)) , 0)

Assertion

Ref	Expression
frecfzen2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> ( M ... N) ~~ ( `' G ` (( N + 1) - M)))

Proof of Theorem frecfzen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 8254	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> M e. ZZ)
2		eluzelz 8258	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> N e. ZZ)
3		1z 8047	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
4		zsubcl 8062	. . . . 5 |- (( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ) -> ( 1 - M) e. ZZ)
5	3, 1, 4	sylancr 393	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> ( 1 - M) e. ZZ)
6		fzen 8677	. . . 4 |- (( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( 1 - M) e. ZZ) -> ( M ... N) ~~ (( M + ( 1 - M)) ...( N + ( 1 - M))))
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1134	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> ( M ... N) ~~ (( M + ( 1 - M)) ...( N + ( 1 - M))))
8	1	zcnd 8137	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> M e. CC)
9		ax-1cn 6776	. . . . 5 |- 1 e. CC
10		pncan3 7016	. . . . 5 |- (( M e. CC /\ 1 e. CC) -> ( M + ( 1 - M)) = 1)
11	8, 9, 10	sylancl 392	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> ( M + ( 1 - M)) = 1)
12		zcn 8026	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC)
13		zcn 8026	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC)
14		addsubass 7018	. . . . . . . 8 |- (( N e. CC /\ 1 e. CC /\ M e. CC) -> (( N + 1) - M) = ( N + ( 1 - M)))
15	9, 14	mp3an2 1219	. . . . . . 7 |- (( N e. CC /\ M e. CC) -> (( N + 1) - M) = ( N + ( 1 - M)))
16	12, 13, 15	syl2an 273	. . . . . 6 |- (( N e. ZZ /\ M e. ZZ) -> (( N + 1) - M) = ( N + ( 1 - M)))
17	2, 1, 16	syl2anc 391	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> (( N + 1) - M) = ( N + ( 1 - M)))
18	17	eqcomd 2042	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> ( N + ( 1 - M)) = (( N + 1) - M))
19	11, 18	oveq12d 5473	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> (( M + ( 1 - M)) ...( N + ( 1 - M))) = ( 1 ...(( N + 1) - M)))
20	7, 19	breqtrd 3779	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> ( M ... N) ~~ ( 1 ...(( N + 1) - M)))
21		peano2uz 8302	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> ( N + 1) e. ( ZZ>= ` M))
22		uznn0sub 8280	. . 3 |- (( N + 1) e. ( ZZ>= ` M) -> (( N + 1) - M) e. NN0)
23		frecfzennn.1	. . . 4 |- G = frec((x e. ZZ |-> (x + 1)) , 0)
24	23	frecfzennn 8884	. . 3 |- ((( N + 1) - M) e. NN0 -> ( 1 ...(( N + 1) - M)) ~~ ( `' G ` (( N + 1) - M)))
25	21, 22, 24	3syl 17	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> ( 1 ...(( N + 1) - M)) ~~ ( `' G ` (( N + 1) - M)))
26		entr 6200	. 2 |- ((( M ... N) ~~ ( 1 ...(( N + 1) - M)) /\ ( 1 ...(( N + 1) - M)) ~~ ( `' G ` (( N + 1) - M))) -> ( M ... N) ~~ ( `' G ` (( N + 1) - M)))
27	20, 25, 26	syl2anc 391	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M) -> ( M ... N) ~~ ( `' G ` (( N + 1) - M)))

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1242   e. wcel 1390   class class class wbr 3755   |-> cmpt 3809   `'ccnv 4287   ` cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917   ~~ cen 6155   CCcc 6709   0cc0 6711   1c1 6712   + caddc 6714   - cmin 6979   NN0cn0 7957   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249   ...cfz 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-en 6158  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645

This theorem is referenced by:  fzfig  8887