Theorem frecfzen2 9204

Description: The cardinality of a finite set of sequential integers with arbitrary endpoints. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
frecfzen2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) ~~ ( `' G ` ( ( N + 1 ) - M ) ) )

Proof of Theorem frecfzen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 8478	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		eluzelz 8482	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
3		1z 8271	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
4		zsubcl 8286	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 1 - M ) e. ZZ )
5	3, 1, 4	sylancr 393	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 1 - M ) e. ZZ )
6		fzen 8907	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( 1 - M ) e. ZZ ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1135	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
8	1	zcnd 8361	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. CC )
9		ax-1cn 6977	. . . . 5 |- 1 e. CC
10		pncan3 7219	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( M + ( 1 - M ) ) = 1 )
11	8, 9, 10	sylancl 392	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + ( 1 - M ) ) = 1 )
12		zcn 8250	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
13		zcn 8250	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
14		addsubass 7221	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC /\ M e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - M ) = ( N + ( 1 - M ) ) )
15	9, 14	mp3an2 1220	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - M ) = ( N + ( 1 - M ) ) )
16	12, 13, 15	syl2an 273	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) - M ) = ( N + ( 1 - M ) ) )
17	2, 1, 16	syl2anc 391	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) = ( N + ( 1 - M ) ) )
18	17	eqcomd 2045	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + ( 1 - M ) ) = ( ( N + 1 ) - M ) )
19	11, 18	oveq12d 5530	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( 1 ... ( ( N + 1 ) - M ) ) )
20	7, 19	breqtrd 3788	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) ~~ ( 1 ... ( ( N + 1 ) - M ) ) )
21		peano2uz 8526	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
22		uznn0sub 8504	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 )
23		frecfzennn.1	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
24	23	frecfzennn 9203	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 -> ( 1 ... ( ( N + 1 ) - M ) ) ~~ ( `' G ` ( ( N + 1 ) - M ) ) )
25	21, 22, 24	3syl 17	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 1 ... ( ( N + 1 ) - M ) ) ~~ ( `' G ` ( ( N + 1 ) - M ) ) )
26		entr 6264	. 2 |- ( ( ( M ... N ) ~~ ( 1 ... ( ( N + 1 ) - M ) ) /\ ( 1 ... ( ( N + 1 ) - M ) ) ~~ ( `' G ` ( ( N + 1 ) - M ) ) ) -> ( M ... N ) ~~ ( `' G ` ( ( N + 1 ) - M ) ) )
27	20, 25, 26	syl2anc 391	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) ~~ ( `' G ` ( ( N + 1 ) - M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   e. wcel 1393   class class class wbr 3764   |-> cmpt 3818   `'ccnv 4344   ` cfv 4902  (class class class)co 5512  freccfrec 5977   ~~ cen 6219   CCcc 6887   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   - cmin 7182   NN0cn0 8181   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   ...cfz 8874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-en 6222  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875

This theorem is referenced by:  fzfig  9206