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Theorem resqrexlemover 9608

Description: Lemma for resqrex 9624. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5178	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5527	. . . . 5
3	2	breq2d 3776	. . . 4
4	3	imbi2d 219	. . 3
5		fveq2 5178	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5527	. . . . 5
7	6	breq2d 3776	. . . 4
8	7	imbi2d 219	. . 3
9		fveq2 5178	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5527	. . . . 5
11	10	breq2d 3776	. . . 4
12	11	imbi2d 219	. . 3
13		fveq2 5178	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5527	. . . . 5
15	14	breq2d 3776	. . . 4
16	15	imbi2d 219	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 9406	. . . . . 6
19		2re 7985	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 7056	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 7055	. . . . 5
23		1red 7042	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 7055	. . . . 5
25	17	recnd 7054	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 7045	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 8133	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 7824	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 401	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1139	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 3786	. . . . . 6
33	17	sqge0d 9407	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 7525	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 135	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 7138	. . . . 5
37	22	ltp1d 7896	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 7139	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 9606	. . . . . . 7
41		1cnd 7043	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 7164	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2072	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5527	. . . . 5
45		binom21 9363	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2072	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 3790	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 9605	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelrnda 5302	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 8622	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 8654	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 7379	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 261	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 9406	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 7992	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 9406	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 7523	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 280	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 8625	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 7901	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 9379	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 8628	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 7804	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 9378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 7770	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2072	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2072	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 3788	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 7619	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 9408	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 8013	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 7901	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 7618	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 7808	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 261	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 7521	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 135	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 9607	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 7988	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 8009	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 9394	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2072	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 9349	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5523	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	syl6eq 2088	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 7767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 9364	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 9362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2072	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 7047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 7309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 7993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 7047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 7049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 7328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 7986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 7279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130, 129, 129	addassi 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132	129	subidi 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
133	132	negeqi 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134	129, 129	negsubdii 7296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
135		neg0 7257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
136	133, 134, 135	3eqtr3i 2068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137	136	oveq1i 5522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138	129	addid2i 7156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139	137, 138	eqtri 2060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140		2p2e4 8037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141	140	oveq2i 5523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142	131, 139, 141	3eqtr3ri 2069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143	142	oveq1i 5522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
145	144, 124, 71	adddird 7052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
146	99, 71	mulneg1d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
147	146	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
148	145, 147	eqtrd 2072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
149	143, 148	syl5reqr 2087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2081	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 9406	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 7014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 7014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 7014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 7011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 5681	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2076	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2083	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2072	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 7322	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 9379	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 7803	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 7770	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5528	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2076	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 3776	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 261	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 156	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 108	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 109	. . . 4
185	184	a2d 23	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 7930	. 2
187	186	impcom 116	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 97

wb 98 $/\$ w3a 885

wceq 1243

wcel 1393

csn 3375 class class class wbr 3764

cxp 4343

cfv 4902 (class class class)co 5512

cmpt2 5514

cc 6887

cr 6888

cc0 6889

c1 6890

caddc 6892

cmul 6894

clt 7060

cle 7061

cmin 7182

cneg 7183 # cap 7572

cdiv 7651

cn 7914

c2 7964

c4 7966

crp 8583

cseq 9211

cexp 9254

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-coll 3872 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 ax-iinf 4311 ax-cnex 6975 ax-resscn 6976 ax-1cn 6977 ax-1re 6978 ax-icn 6979 ax-addcl 6980 ax-addrcl 6981 ax-mulcl 6982 ax-mulrcl 6983 ax-addcom 6984 ax-mulcom 6985 ax-addass 6986 ax-mulass 6987 ax-distr 6988 ax-i2m1 6989 ax-1rid 6991 ax-0id 6992 ax-rnegex 6993 ax-precex 6994 ax-cnre 6995 ax-pre-ltirr 6996 ax-pre-ltwlin 6997 ax-pre-lttrn 6998 ax-pre-apti 6999 ax-pre-ltadd 7000 ax-pre-mulgt0 7001 ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 743 df-3or 886 df-3an 887 df-tru 1246 df-fal 1249 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-nel 2207 df-ral 2311 df-rex 2312 df-reu 2313 df-rmo 2314 df-rab 2315 df-v 2559 df-sbc 2765 df-csb 2853 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-if 3332 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-int 3616 df-iun 3659 df-br 3765 df-opab 3819 df-mpt 3820 df-tr 3855 df-eprel 4026 df-id 4030 df-po 4033 df-iso 4034 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 df-iom 4314 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357 df-ima 4358 df-iota 4867 df-fun 4904 df-fn 4905 df-f 4906 df-f1 4907 df-fo 4908 df-f1o 4909 df-fv 4910 df-riota 5468 df-ov 5515 df-oprab 5516 df-mpt2 5517 df-1st 5767 df-2nd 5768 df-recs 5920 df-irdg 5957 df-frec 5978 df-1o 6001 df-2o 6002 df-oadd 6005 df-omul 6006 df-er 6106 df-ec 6108 df-qs 6112 df-ni 6402 df-pli 6403 df-mi 6404 df-lti 6405 df-plpq 6442 df-mpq 6443 df-enq 6445 df-nqqs 6446 df-plqqs 6447 df-mqqs 6448 df-1nqqs 6449 df-rq 6450 df-ltnqqs 6451 df-enq0 6522 df-nq0 6523 df-0nq0 6524 df-plq0 6525 df-mq0 6526 df-inp 6564 df-i1p 6565 df-iplp 6566 df-iltp 6568 df-enr 6811 df-nr 6812 df-ltr 6815 df-0r 6816 df-1r 6817 df-0 6896 df-1 6897 df-r 6899 df-lt 6902 df-pnf 7062 df-mnf 7063 df-xr 7064 df-ltxr 7065 df-le 7066 df-sub 7184 df-neg 7185 df-reap 7566 df-ap 7573 df-div 7652 df-inn 7915 df-2 7973 df-3 7974 df-4 7975 df-n0 8182 df-z 8246 df-uz 8474 df-rp 8584 df-iseq 9212 df-iexp 9255

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 9609 resqrexlemcalc2 9613 resqrexlemnmsq 9615 resqrexlemga 9621

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