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Theorem resqrexlemover 9608
 Description: Lemma for resqrex 9624. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0
Assertion
Ref Expression
resqrexlemover
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem resqrexlemover
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5178 . . . . . 6
21oveq1d 5527 . . . . 5
32breq2d 3776 . . . 4
43imbi2d 219 . . 3
5 fveq2 5178 . . . . . 6
65oveq1d 5527 . . . . 5
76breq2d 3776 . . . 4
87imbi2d 219 . . 3
9 fveq2 5178 . . . . . 6
109oveq1d 5527 . . . . 5
1110breq2d 3776 . . . 4
1211imbi2d 219 . . 3
13 fveq2 5178 . . . . . 6
1413oveq1d 5527 . . . . 5
1514breq2d 3776 . . . 4
1615imbi2d 219 . . 3
17 resqrexlemex.a . . . . 5
1817resqcld 9406 . . . . . 6
19 2re 7985 . . . . . . . 8
2019a1i 9 . . . . . . 7
2120, 17remulcld 7056 . . . . . 6
2218, 21readdcld 7055 . . . . 5
23 1red 7042 . . . . . 6
2422, 23readdcld 7055 . . . . 5
2517recnd 7054 . . . . . . . 8
2625mulid2d 7045 . . . . . . 7
27 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8
28 1le2 8133 . . . . . . . . 9
29 lemul1a 7824 . . . . . . . . 9
3028, 29mpan2 401 . . . . . . . 8
3123, 20, 17, 27, 30syl112anc 1139 . . . . . . 7
3226, 31eqbrtrrd 3786 . . . . . 6
3317sqge0d 9407 . . . . . . 7
3421, 18addge02d 7525 . . . . . . 7
3533, 34mpbid 135 . . . . . 6
3617, 21, 22, 32, 35letrd 7138 . . . . 5
3722ltp1d 7896 . . . . 5
3817, 22, 24, 36, 37lelttrd 7139 . . . 4
39 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8
4039, 17, 27resqrexlemf1 9606 . . . . . . 7
41 1cnd 7043 . . . . . . . 8
4241, 25addcomd 7164 . . . . . . 7
4340, 42eqtrd 2072 . . . . . 6
4443oveq1d 5527 . . . . 5
45 binom21 9363 . . . . . 6
4625, 45syl 14 . . . . 5
4744, 46eqtrd 2072 . . . 4
4838, 47breqtrrd 3790 . . 3
4939, 17, 27resqrexlemf 9605 . . . . . . . . . . . . . 14
5049ffvelrnda 5302 . . . . . . . . . . . . 13
5150rpred 8622 . . . . . . . . . . . 12
5217adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13
5352, 50rerpdivcld 8654 . . . . . . . . . . . 12
5451, 53resubcld 7379 . . . . . . . . . . 11
5554adantr 261 . . . . . . . . . 10
5655resqcld 9406 . . . . . . . . 9
57 4re 7992 . . . . . . . . . 10
5857a1i 9 . . . . . . . . 9
5951resqcld 9406 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059, 52resubcld 7379 . . . . . . . . . . . . . 14
6160adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13
6251adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13
6352, 59posdifd 7523 . . . . . . . . . . . . . 14
6463biimpa 280 . . . . . . . . . . . . 13
6550rpgt0d 8625 . . . . . . . . . . . . . 14
6665adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13
6761, 62, 64, 66divgt0d 7901 . . . . . . . . . . . 12
6851recnd 7054 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968sqcld 9379 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14
7125adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14
7368adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14
7450rpap0d 8628 . . . . . . . . . . . . . . 15 #
7574adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 #
7670, 72, 73, 75divsubdirapd 7804 . . . . . . . . . . . . 13
7773sqvald 9378 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15
7973, 73, 75divcanap3d 7770 . . . . . . . . . . . . . . 15
8078, 79eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . . . 14
8180oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13
8276, 81eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . 12
8367, 82breqtrd 3788 . . . . . . . . . . 11
8455, 83gt0ap0d 7619 . . . . . . . . . 10 #
8555, 84sqgt0apd 9408 . . . . . . . . 9
86 4pos 8013 . . . . . . . . . 10
8786a1i 9 . . . . . . . . 9
8856, 58, 85, 87divgt0d 7901 . . . . . . . 8
8957, 86gt0ap0ii 7618 . . . . . . . . . . 11 #
9089a1i 9 . . . . . . . . . 10 #
9156, 58, 90redivclapd 7808 . . . . . . . . 9
9252adantr 261 . . . . . . . . 9
9391, 92ltaddpos2d 7521 . . . . . . . 8
9488, 93mpbid 135 . . . . . . 7
9539, 17, 27resqrexlemfp1 9607 . . . . . . . . . . . . . 14
9695oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13
9751, 53readdcld 7055 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897recnd 7054 . . . . . . . . . . . . . 14
99 2cnd 7988 . . . . . . . . . . . . . 14
100 2ap0 8009 . . . . . . . . . . . . . . 15 #
101100a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 #
10298, 99, 101sqdivapd 9394 . . . . . . . . . . . . 13
10396, 102eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . 12
104 sq2 9349 . . . . . . . . . . . . 13
105104oveq2i 5523 . . . . . . . . . . . 12
106103, 105syl6eq 2088 . . . . . . . . . . 11
10771, 68, 74divcanap2d 7767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108107oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109108oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15
110109oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14
111110oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13
11253recnd 7054 . . . . . . . . . . . . . . 15
113 binom2sub 9364 . . . . . . . . . . . . . . 15
11468, 112, 113syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14
115114oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13
116 binom2 9362 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11768, 112, 116syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15
118108oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119118oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15
120117, 119eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . . . 14
12199, 71mulcld 7047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121negcld 7309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123 4cn 7993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124123a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125124, 71mulcld 7047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12669, 122, 125addassd 7049 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12769, 121negsubd 7328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128127oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129 2cn 7986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130129negcli 7279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131130, 129, 129addassi 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132129subidi 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
133132negeqi 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134129, 129negsubdii 7296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
135 neg0 7257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
136133, 134, 1353eqtr3i 2068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137136oveq1i 5522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138129addid2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139137, 138eqtri 2060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140 2p2e4 8037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141140oveq2i 5523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142131, 139, 1413eqtr3ri 2069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143142oveq1i 5522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145144, 124, 71adddird 7052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14699, 71mulneg1d 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147146oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148145, 147eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149143, 148syl5reqr 2087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150149oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151126, 128, 1503eqtr3rd 2081 . . . . . . . . . . . . . . 15
152151oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14
15319a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154153, 52remulcld 7056 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15559, 154resubcld 7379 . . . . . . . . . . . . . . 15
15657a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16
157156, 52remulcld 7056 . . . . . . . . . . . . . . 15
15853resqcld 9406 . . . . . . . . . . . . . . 15
159 recn 7014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160 recn 7014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
161 addcom 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
162159, 160, 161syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163162adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15
164 recn 7014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165 addass 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166159, 160, 164, 165syl3an 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167166adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15
168155, 157, 158, 163, 167caov32d 5681 . . . . . . . . . . . . . 14
169120, 152, 1683eqtrd 2076 . . . . . . . . . . . . 13
170111, 115, 1693eqtr4rd 2083 . . . . . . . . . . . 12
171170oveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11
172106, 171eqtrd 2072 . . . . . . . . . 10
17368, 112subcld 7322 . . . . . . . . . . . 12
174173sqcld 9379 . . . . . . . . . . 11
17589a1i 9 . . . . . . . . . . 11 #
176174, 125, 124, 175divdirapd 7803 . . . . . . . . . 10
17771, 124, 175divcanap3d 7770 . . . . . . . . . . 11
178177oveq2d 5528 . . . . . . . . . 10
179172, 176, 1783eqtrd 2076 . . . . . . . . 9
180179breq2d 3776 . . . . . . . 8
181180adantr 261 . . . . . . 7
18294, 181mpbird 156 . . . . . 6
183182ex 108 . . . . 5
184183expcom 109 . . . 4
185184a2d 23 . . 3
1864, 8, 12, 16, 48, 185nnind 7930 . 2
187186impcom 116 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 885   wceq 1243   wcel 1393  csn 3375   class class class wbr 3764   cxp 4343  cfv 4902  (class class class)co 5512   cmpt2 5514  cc 6887  cr 6888  cc0 6889  c1 6890   caddc 6892   cmul 6894   clt 7060   cle 7061   cmin 7182  cneg 7183   # cap 7572   cdiv 7651  cn 7914  c2 7964  c4 7966  crp 8583   cseq 9211  cexp 9254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255 This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  9609  resqrexlemcalc2  9613  resqrexlemnmsq  9615  resqrexlemga  9621
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