ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexp2a Unicode version

Theorem ltexp2a 8960
Description: Ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltexp2a  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  ^ M  <  ^ N

Proof of Theorem ltexp2a
StepHypRef Expression
1 simpl1 906 . . . . . . 7  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  RR
2 0red 6826 . . . . . . . 8  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  0  RR
3 1red 6840 . . . . . . . 8  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  1  RR
4 0lt1 6938 . . . . . . . . 9  0  <  1
54a1i 9 . . . . . . . 8  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  0  <  1
6 simprl 483 . . . . . . . 8  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  1  <
72, 3, 1, 5, 6lttrd 6937 . . . . . . 7  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  0  <
81, 7elrpd 8395 . . . . . 6  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  RR+
9 simpl2 907 . . . . . 6  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  M  ZZ
10 rpexpcl 8928 . . . . . 6  RR+  M  ZZ  ^ M  RR+
118, 9, 10syl2anc 391 . . . . 5  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  ^ M  RR+
1211rpred 8397 . . . 4  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  ^ M  RR
1312recnd 6851 . . 3  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  ^ M  CC
1413mulid2d 6843 . 2  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  1  x.  ^ M  ^ M
15 simprr 484 . . . . . 6  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  M  < 
N
16 simpl3 908 . . . . . . 7  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  N  ZZ
17 znnsub 8072 . . . . . . 7  M  ZZ  N  ZZ  M  <  N  N  -  M  NN
189, 16, 17syl2anc 391 . . . . . 6  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  M  <  N  N  -  M  NN
1915, 18mpbid 135 . . . . 5  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  N  -  M  NN
20 expgt1 8947 . . . . 5  RR  N  -  M  NN  1  <  1  <  ^ N  -  M
211, 19, 6, 20syl3anc 1134 . . . 4  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  1  <  ^ N  -  M
221recnd 6851 . . . . 5  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  CC
231, 7gt0ap0d 7411 . . . . 5  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N #  0
24 expsubap 8956 . . . . 5  CC #  0  N  ZZ  M  ZZ  ^ N  -  M  ^ N  ^ M
2522, 23, 16, 9, 24syl22anc 1135 . . . 4  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  ^ N  -  M  ^ N  ^ M
2621, 25breqtrd 3779 . . 3  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  1  <  ^ N  ^ M
27 rpexpcl 8928 . . . . . 6  RR+  N  ZZ  ^ N  RR+
288, 16, 27syl2anc 391 . . . . 5  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  ^ N  RR+
2928rpred 8397 . . . 4  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  ^ N  RR
303, 29, 11ltmuldivd 8440 . . 3  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  1  x.  ^ M  <  ^ N  1  <  ^ N  ^ M
3126, 30mpbird 156 . 2  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  1  x.  ^ M  <  ^ N
3214, 31eqbrtrrd 3777 1  RR  M  ZZ  N  ZZ  1  <  M  <  N  ^ M  <  ^ N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   0cc0 6711   1c1 6712    x. cmul 6716    < clt 6857    - cmin 6979   # cap 7365   cdiv 7433   NNcn 7695   ZZcz 8021   RR+crp 8358   ^cexp 8908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-rp 8359  df-iseq 8893  df-iexp 8909
This theorem is referenced by:  expnass  9010
  Copyright terms: Public domain W3C validator