ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0lt1 Unicode version

Theorem 0lt1 7141
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1  |-  0  <  1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 ax-0lt1 6990 . 2  |-  0  <RR  1
2 0re 7027 . . 3  |-  0  e.  RR
3 1re 7026 . . 3  |-  1  e.  RR
4 ltxrlt 7085 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <  1  <->  0 
<RR  1 ) )
52, 3, 4mp2an 402 . 2  |-  ( 0  <  1  <->  0  <RR  1 )
61, 5mpbir 134 1  |-  0  <  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 98    e. wcel 1393   class class class wbr 3764   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890    <RR cltrr 6893    < clt 7060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1re 6978  ax-addrcl 6981  ax-rnegex 6993
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-ltxr 7065
This theorem is referenced by:  ine0  7391  0le1  7476  inelr  7575  1ap0  7581  eqneg  7708  ltp1  7810  ltm1  7812  recgt0  7816  mulgt1  7829  reclt1  7862  recgt1  7863  recgt1i  7864  recp1lt1  7865  recreclt  7866  nnge1  7937  nngt0  7939  0nnn  7941  nnrecgt0  7951  0ne1  7982  2pos  8007  3pos  8010  4pos  8013  5pos  8016  6pos  8017  7pos  8018  8pos  8019  9pos  8020  10pos  8021  neg1lt0  8025  halflt1  8142  nn0p1gt0  8211  elnnnn0c  8227  elnnz1  8268  recnz  8333  1rp  8587  divlt1lt  8650  divle1le  8651  ledivge1le  8652  fz10  8910  fzpreddisj  8933  elfz1b  8952  modqfrac  9179  expgt1  9293  ltexp2a  9306  leexp2a  9307  expnbnd  9372  expnlbnd  9373  expnlbnd2  9374  resqrexlem1arp  9603  mulcn2  9833
  Copyright terms: Public domain W3C validator