Theorem ltexp2a 8920

Description: Ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltexp2a	⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (A↑𝑀) < (A↑𝑁))

Proof of Theorem ltexp2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 906	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → A ∈ ℝ)
2		0red 6786	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 6800	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
4		0lt1 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
5	4	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 0 < 1)
6		simprl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 1 < A)
7	2, 3, 1, 5, 6	lttrd 6897	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 0 < A)
8	1, 7	elrpd 8355	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → A ∈ ℝ+)
9		simpl2 907	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		rpexpcl 8888	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (A↑𝑀) ∈ ℝ+)
11	8, 9, 10	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (A↑𝑀) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 8357	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (A↑𝑀) ∈ ℝ)
13	12	recnd 6811	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (A↑𝑀) ∈ ℂ)
14	13	mulid2d 6803	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (1 · (A↑𝑀)) = (A↑𝑀))
15		simprr 484	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 𝑀 < 𝑁)
16		simpl3 908	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
17		znnsub 8032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
18	9, 16, 17	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
19	15, 18	mpbid 135	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)
20		expgt1 8907	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 1 < A) → 1 < (A↑(𝑁 − 𝑀)))
21	1, 19, 6, 20	syl3anc 1134	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 1 < (A↑(𝑁 − 𝑀)))
22	1	recnd 6811	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → A ∈ ℂ)
23	1, 7	gt0ap0d 7371	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → A # 0)
24		expsubap 8916	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (A↑(𝑁 − 𝑀)) = ((A↑𝑁) / (A↑𝑀)))
25	22, 23, 16, 9, 24	syl22anc 1135	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (A↑(𝑁 − 𝑀)) = ((A↑𝑁) / (A↑𝑀)))
26	21, 25	breqtrd 3779	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 1 < ((A↑𝑁) / (A↑𝑀)))
27		rpexpcl 8888	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (A↑𝑁) ∈ ℝ+)
28	8, 16, 27	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (A↑𝑁) ∈ ℝ+)
29	28	rpred 8357	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (A↑𝑁) ∈ ℝ)
30	3, 29, 11	ltmuldivd 8400	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → ((1 · (A↑𝑀)) < (A↑𝑁) ↔ 1 < ((A↑𝑁) / (A↑𝑀))))
31	26, 30	mpbird 156	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (1 · (A↑𝑀)) < (A↑𝑁))
32	14, 31	eqbrtrrd 3777	1 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < A ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (A↑𝑀) < (A↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6669  ℝcr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   · cmul 6676   < clt 6817   − cmin 6939   # cap 7325   / cdiv 7393  ℕcn 7655  ℤcz 7981  ℝ⁺crp 8318  ↑cexp 8868

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-rp 8319  df-iseq 8853  df-iexp 8869

This theorem is referenced by:  expnass  8970