Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leexp2a GIF version

Theorem leexp2a 8961
 Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → (A𝑀) ≤ (A𝑁))

Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 903 . . . . . . 7 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → A ℝ)
2 0red 6826 . . . . . . . 8 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → 0 ℝ)
3 1red 6840 . . . . . . . 8 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → 1 ℝ)
4 0lt1 6938 . . . . . . . . 9 0 < 1
54a1i 9 . . . . . . . 8 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → 0 < 1)
6 simp2 904 . . . . . . . 8 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → 1 ≤ A)
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 7216 . . . . . . 7 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → 0 < A)
81, 7elrpd 8395 . . . . . 6 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → A +)
9 eluzel2 8254 . . . . . . 7 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 ℤ)
1093ad2ant3 926 . . . . . 6 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → 𝑀 ℤ)
11 rpexpcl 8928 . . . . . 6 ((A + 𝑀 ℤ) → (A𝑀) +)
128, 10, 11syl2anc 391 . . . . 5 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → (A𝑀) +)
1312rpred 8397 . . . 4 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → (A𝑀) ℝ)
1413recnd 6851 . . 3 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → (A𝑀) ℂ)
1514mulid2d 6843 . 2 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → (1 · (A𝑀)) = (A𝑀))
16 uznn0sub 8280 . . . . . 6 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) 0)
17163ad2ant3 926 . . . . 5 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → (𝑁𝑀) 0)
18 expge1 8946 . . . . 5 ((A (𝑁𝑀) 0 1 ≤ A) → 1 ≤ (A↑(𝑁𝑀)))
191, 17, 6, 18syl3anc 1134 . . . 4 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → 1 ≤ (A↑(𝑁𝑀)))
201recnd 6851 . . . . 5 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → A ℂ)
211, 7gt0ap0d 7411 . . . . 5 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → A # 0)
22 eluzelz 8258 . . . . . 6 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑁 ℤ)
23223ad2ant3 926 . . . . 5 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → 𝑁 ℤ)
24 expsubap 8956 . . . . 5 (((A A # 0) (𝑁 𝑀 ℤ)) → (A↑(𝑁𝑀)) = ((A𝑁) / (A𝑀)))
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 1135 . . . 4 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → (A↑(𝑁𝑀)) = ((A𝑁) / (A𝑀)))
2619, 25breqtrd 3779 . . 3 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → 1 ≤ ((A𝑁) / (A𝑀)))
27 rpexpcl 8928 . . . . . 6 ((A + 𝑁 ℤ) → (A𝑁) +)
288, 23, 27syl2anc 391 . . . . 5 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → (A𝑁) +)
2928rpred 8397 . . . 4 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → (A𝑁) ℝ)
303, 29, 12lemuldivd 8442 . . 3 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → ((1 · (A𝑀)) ≤ (A𝑁) ↔ 1 ≤ ((A𝑁) / (A𝑀))))
3126, 30mpbird 156 . 2 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → (1 · (A𝑀)) ≤ (A𝑁))
3215, 31eqbrtrrd 3777 1 ((A 1 ≤ A 𝑁 (ℤ𝑀)) → (A𝑀) ≤ (A𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   · cmul 6716   < clt 6857   ≤ cle 6858   − cmin 6979   # cap 7365   / cdiv 7433  ℕ0cn0 7957  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249  ℝ+crp 8358  ↑cexp 8908 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-rp 8359  df-iseq 8893  df-iexp 8909 This theorem is referenced by:  expnlbnd2  9027  leexp2ad  9062
 Copyright terms: Public domain W3C validator