ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0lt1 Structured version   GIF version

Theorem 0lt1 6898
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 ax-0lt1 6749 . 2 0 < 1
2 0re 6785 . . 3 0
3 1re 6784 . . 3 1
4 ltxrlt 6842 . . 3 ((0 1 ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 < 1))
52, 3, 4mp2an 402 . 2 (0 < 1 ↔ 0 < 1)
61, 5mpbir 134 1 0 < 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 98   wcel 1390   class class class wbr 3755  cr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   < cltrr 6675   < clt 6817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1re 6737  ax-addrcl 6740  ax-rnegex 6752
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822
This theorem is referenced by:  ine0  7147  0le1  7231  inelr  7328  1ap0  7334  eqneg  7450  ltp1  7551  ltm1  7553  recgt0  7557  mulgt1  7570  reclt1  7603  recgt1  7604  recgt1i  7605  recp1lt1  7606  recreclt  7607  nnge1  7678  nngt0  7680  0nnn  7682  nnrecgt0  7692  0ne1  7722  2pos  7747  3pos  7750  4pos  7752  5pos  7754  6pos  7755  7pos  7756  8pos  7757  9pos  7758  10pos  7759  neg1lt0  7763  halflt1  7879  nn0p1gt0  7947  elnnnn0c  7963  elnnz1  8004  recnz  8069  1rp  8322  fz10  8640  fzpreddisj  8663  elfz1b  8682  expgt1  8907  ltexp2a  8920  leexp2a  8921  expnbnd  8985  expnlbnd  8986  expnlbnd2  8987
  Copyright terms: Public domain W3C validator