ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inelr Structured version   GIF version

Theorem inelr 7328
Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr ¬ i

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 7147 . . 3 i ≠ 0
21neii 2205 . 2 ¬ i = 0
3 0lt1 6898 . . . . . 6 0 < 1
4 0re 6785 . . . . . . 7 0
5 1re 6784 . . . . . . 7 1
64, 5ltnsymi 6874 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 7 . . . . 5 ¬ 1 < 0
8 ixi 7327 . . . . . . . 8 (i · i) = -1
95renegcli 7029 . . . . . . . 8 -1
108, 9eqeltri 2107 . . . . . . 7 (i · i)
114, 10, 5ltadd1i 7249 . . . . . 6 (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12 ax-1cn 6736 . . . . . . . 8 1
1312addid2i 6913 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
14 ax-i2m1 6748 . . . . . . 7 ((i · i) + 1) = 0
1513, 14breq12i 3764 . . . . . 6 ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
1611, 15bitri 173 . . . . 5 (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
177, 16mtbir 595 . . . 4 ¬ 0 < (i · i)
18 mullt0 7230 . . . . . 6 (((i i < 0) (i i < 0)) → 0 < (i · i))
1918anidms 377 . . . . 5 ((i i < 0) → 0 < (i · i))
2019ex 108 . . . 4 (i ℝ → (i < 0 → 0 < (i · i)))
2117, 20mtoi 589 . . 3 (i ℝ → ¬ i < 0)
22 mulgt0 6850 . . . . . 6 (((i 0 < i) (i 0 < i)) → 0 < (i · i))
2322anidms 377 . . . . 5 ((i 0 < i) → 0 < (i · i))
2423ex 108 . . . 4 (i ℝ → (0 < i → 0 < (i · i)))
2517, 24mtoi 589 . . 3 (i ℝ → ¬ 0 < i)
26 lttri3 6855 . . . 4 ((i 0 ℝ) → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ¬ 0 < i)))
274, 26mpan2 401 . . 3 (i ℝ → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ¬ 0 < i)))
2821, 25, 27mpbir2and 850 . 2 (i ℝ → i = 0)
292, 28mto 587 1 ¬ i
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6670  0cc0 6671  1c1 6672  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676   < clt 6817  -cneg 6940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942
This theorem is referenced by:  rimul  7329
  Copyright terms: Public domain W3C validator