Theorem rimul 7329

Description: A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rimul	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) → A = 0)

Proof of Theorem rimul

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inelr 7328	. . 3 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		recexre 7322	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ A #ℝ 0) → ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1)
3	2	adantlr 446	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) → ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1)
4		simplll 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) ∧ (x ∈ ℝ ∧ (A · x) = 1)) → A ∈ ℝ)
5	4	recnd 6811	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) ∧ (x ∈ ℝ ∧ (A · x) = 1)) → A ∈ ℂ)
6		simprl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) ∧ (x ∈ ℝ ∧ (A · x) = 1)) → x ∈ ℝ)
7	6	recnd 6811	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) ∧ (x ∈ ℝ ∧ (A · x) = 1)) → x ∈ ℂ)
8		ax-icn 6738	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
9		mulass 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) → ((i · A) · x) = (i · (A · x)))
10	8, 9	mp3an1 1218	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) → ((i · A) · x) = (i · (A · x)))
11	5, 7, 10	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) ∧ (x ∈ ℝ ∧ (A · x) = 1)) → ((i · A) · x) = (i · (A · x)))
12		oveq2 5463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A · x) = 1 → (i · (A · x)) = (i · 1))
13	8	mulid1i 6787	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · 1) = i
14	12, 13	syl6eq 2085	. . . . . . . 8 ⊢ ((A · x) = 1 → (i · (A · x)) = i)
15	14	ad2antll 460	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) ∧ (x ∈ ℝ ∧ (A · x) = 1)) → (i · (A · x)) = i)
16	11, 15	eqtrd 2069	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) ∧ (x ∈ ℝ ∧ (A · x) = 1)) → ((i · A) · x) = i)
17		simpllr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) ∧ (x ∈ ℝ ∧ (A · x) = 1)) → (i · A) ∈ ℝ)
18	17, 6	remulcld 6813	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) ∧ (x ∈ ℝ ∧ (A · x) = 1)) → ((i · A) · x) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrrd 2112	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) ∧ (x ∈ ℝ ∧ (A · x) = 1)) → i ∈ ℝ)
20	3, 19	rexlimddv 2431	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) ∧ A #ℝ 0) → i ∈ ℝ)
21	20	ex 108	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) → (A #ℝ 0 → i ∈ ℝ))
22	1, 21	mtoi 589	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) → ¬ A #ℝ 0)
23		0re 6785	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		reapti 7323	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (A = 0 ↔ ¬ A #ℝ 0))
25	23, 24	mpan2 401	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → (A = 0 ↔ ¬ A #ℝ 0))
26	25	adantr 261	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) → (A = 0 ↔ ¬ A #ℝ 0))
27	22, 26	mpbird 156	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ (i · A) ∈ ℝ) → A = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6669  ℝcr 6670  0cc0 6671  1c1 6672  ici 6673   · cmul 6676   #_ℝ creap 7318

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319

This theorem is referenced by:  rereim  7330  cru  7346  cju  7654  crre  9045