ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1b GIF version

Theorem elfz1b 8950
Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz1b (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))

Proof of Theorem elfz1b
StepHypRef Expression
1 elfz2 8879 . 2 (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)))
2 simpl 102 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 0red 7026 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
4 1red 7040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5 zre 8247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
63, 4, 53jca 1084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
76adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8 0lt1 7139 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
98a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 1)
10 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
11 ltletr 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
1211imp 115 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
137, 9, 10, 12syl12anc 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
14 elnnz 8253 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
152, 13, 14sylanbrc 394 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
1615ex 108 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
17163ad2ant3 927 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1817com12 27 . . . . . 6 (1 ≤ 𝑁 → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
1918adantr 261 . . . . 5 ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
2019impcom 116 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
21 zre 8247 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 zre 8247 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2321, 5, 223anim123i 1089 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24233com23 1110 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25 letr 7099 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
2624, 25syl 14 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
27 simpl 102 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28 0red 7026 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29 1red 7040 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3022adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
318a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 1)
32 simpr 103 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
3328, 29, 30, 31, 32ltletrd 7418 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 𝑀)
34 elnnz 8253 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
3527, 33, 34sylanbrc 394 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
3635ex 108 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
37363ad2ant2 926 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
3826, 37syld 40 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
3938imp 115 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
40 simprr 484 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑁𝑀)
4120, 39, 403jca 1084 . . 3 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
42 1zzd 8270 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 1 ∈ ℤ)
43 nnz 8262 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
44433ad2ant2 926 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
45 nnz 8262 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
46453ad2ant1 925 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4742, 44, 463jca 1084 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
48 nnge1 7935 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
49483ad2ant1 925 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑁)
50 simp3 906 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁𝑀)
5147, 49, 50jca32 293 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)))
5241, 51impbii 117 . 2 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
531, 52bitri 173 1 (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  w3a 885  wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  cr 6886  0cc0 6887  1c1 6888   < clt 7058  cle 7059  cn 7912  cz 8243  ...cfz 8872
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-ltadd 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-inn 7913  df-z 8244  df-fz 8873
This theorem is referenced by:  ubmelfzo  9054
  Copyright terms: Public domain W3C validator