Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1b GIF version

Theorem elfz1b 8722
 Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz1b (𝑁 (1...𝑀) ↔ (𝑁 𝑀 𝑁𝑀))

Proof of Theorem elfz1b
StepHypRef Expression
1 elfz2 8651 . 2 (𝑁 (1...𝑀) ↔ ((1 𝑀 𝑁 ℤ) (1 ≤ 𝑁 𝑁𝑀)))
2 simpl 102 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ℤ)
3 0red 6826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ℤ → 0 ℝ)
4 1red 6840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ℤ → 1 ℝ)
5 zre 8025 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
63, 4, 53jca 1083 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ℤ → (0 1 𝑁 ℝ))
76adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 1 ≤ 𝑁) → (0 1 𝑁 ℝ))
8 0lt1 6938 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
98a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 1 ≤ 𝑁) → 0 < 1)
10 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 1 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
11 ltletr 6904 . . . . . . . . . . . 12 ((0 1 𝑁 ℝ) → ((0 < 1 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
1211imp 115 . . . . . . . . . . 11 (((0 1 𝑁 ℝ) (0 < 1 1 ≤ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
137, 9, 10, 12syl12anc 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
14 elnnz 8031 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ℕ ↔ (𝑁 0 < 𝑁))
152, 13, 14sylanbrc 394 . . . . . . . . 9 ((𝑁 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ℕ)
1615ex 108 . . . . . . . 8 (𝑁 ℤ → (1 ≤ 𝑁𝑁 ℕ))
17163ad2ant3 926 . . . . . . 7 ((1 𝑀 𝑁 ℤ) → (1 ≤ 𝑁𝑁 ℕ))
1817com12 27 . . . . . 6 (1 ≤ 𝑁 → ((1 𝑀 𝑁 ℤ) → 𝑁 ℕ))
1918adantr 261 . . . . 5 ((1 ≤ 𝑁 𝑁𝑀) → ((1 𝑀 𝑁 ℤ) → 𝑁 ℕ))
2019impcom 116 . . . 4 (((1 𝑀 𝑁 ℤ) (1 ≤ 𝑁 𝑁𝑀)) → 𝑁 ℕ)
21 zre 8025 . . . . . . . . 9 (1 ℤ → 1 ℝ)
22 zre 8025 . . . . . . . . 9 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℝ)
2321, 5, 223anim123i 1088 . . . . . . . 8 ((1 𝑁 𝑀 ℤ) → (1 𝑁 𝑀 ℝ))
24233com23 1109 . . . . . . 7 ((1 𝑀 𝑁 ℤ) → (1 𝑁 𝑀 ℝ))
25 letr 6898 . . . . . . 7 ((1 𝑁 𝑀 ℝ) → ((1 ≤ 𝑁 𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
2624, 25syl 14 . . . . . 6 ((1 𝑀 𝑁 ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
27 simpl 102 . . . . . . . . 9 ((𝑀 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ℤ)
28 0red 6826 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 1 ≤ 𝑀) → 0 ℝ)
29 1red 6840 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 1 ≤ 𝑀) → 1 ℝ)
3022adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ℝ)
318a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 1 ≤ 𝑀) → 0 < 1)
32 simpr 103 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 1 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
3328, 29, 30, 31, 32ltletrd 7216 . . . . . . . . 9 ((𝑀 1 ≤ 𝑀) → 0 < 𝑀)
34 elnnz 8031 . . . . . . . . 9 (𝑀 ℕ ↔ (𝑀 0 < 𝑀))
3527, 33, 34sylanbrc 394 . . . . . . . 8 ((𝑀 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ℕ)
3635ex 108 . . . . . . 7 (𝑀 ℤ → (1 ≤ 𝑀𝑀 ℕ))
37363ad2ant2 925 . . . . . 6 ((1 𝑀 𝑁 ℤ) → (1 ≤ 𝑀𝑀 ℕ))
3826, 37syld 40 . . . . 5 ((1 𝑀 𝑁 ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 𝑁𝑀) → 𝑀 ℕ))
3938imp 115 . . . 4 (((1 𝑀 𝑁 ℤ) (1 ≤ 𝑁 𝑁𝑀)) → 𝑀 ℕ)
40 simprr 484 . . . 4 (((1 𝑀 𝑁 ℤ) (1 ≤ 𝑁 𝑁𝑀)) → 𝑁𝑀)
4120, 39, 403jca 1083 . . 3 (((1 𝑀 𝑁 ℤ) (1 ≤ 𝑁 𝑁𝑀)) → (𝑁 𝑀 𝑁𝑀))
42 1zzd 8048 . . . . 5 ((𝑁 𝑀 𝑁𝑀) → 1 ℤ)
43 nnz 8040 . . . . . 6 (𝑀 ℕ → 𝑀 ℤ)
44433ad2ant2 925 . . . . 5 ((𝑁 𝑀 𝑁𝑀) → 𝑀 ℤ)
45 nnz 8040 . . . . . 6 (𝑁 ℕ → 𝑁 ℤ)
46453ad2ant1 924 . . . . 5 ((𝑁 𝑀 𝑁𝑀) → 𝑁 ℤ)
4742, 44, 463jca 1083 . . . 4 ((𝑁 𝑀 𝑁𝑀) → (1 𝑀 𝑁 ℤ))
48 nnge1 7718 . . . . 5 (𝑁 ℕ → 1 ≤ 𝑁)
49483ad2ant1 924 . . . 4 ((𝑁 𝑀 𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑁)
50 simp3 905 . . . 4 ((𝑁 𝑀 𝑁𝑀) → 𝑁𝑀)
5147, 49, 50jca32 293 . . 3 ((𝑁 𝑀 𝑁𝑀) → ((1 𝑀 𝑁 ℤ) (1 ≤ 𝑁 𝑁𝑀)))
5241, 51impbii 117 . 2 (((1 𝑀 𝑁 ℤ) (1 ≤ 𝑁 𝑁𝑀)) ↔ (𝑁 𝑀 𝑁𝑀))
531, 52bitri 173 1 (𝑁 (1...𝑀) ↔ (𝑁 𝑀 𝑁𝑀))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   < clt 6857   ≤ cle 6858  ℕcn 7695  ℤcz 8021  ...cfz 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-z 8022  df-fz 8645 This theorem is referenced by:  ubmelfzo  8826
 Copyright terms: Public domain W3C validator