ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnlbnd2 Structured version   GIF version

Theorem expnlbnd2 8987
Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expnlbnd2 ((A + B 1 < B) → 𝑗 𝑘 (ℤ𝑗)(1 / (B𝑘)) < A)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,A   B,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd2
StepHypRef Expression
1 expnlbnd 8986 . 2 ((A + B 1 < B) → 𝑗 ℕ (1 / (B𝑗)) < A)
2 simpl2 907 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → B ℝ)
3 simpl3 908 . . . . . . . . 9 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 1 < B)
4 1re 6784 . . . . . . . . . 10 1
5 ltle 6862 . . . . . . . . . 10 ((1 B ℝ) → (1 < B → 1 ≤ B))
64, 2, 5sylancr 393 . . . . . . . . 9 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (1 < B → 1 ≤ B))
73, 6mpd 13 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 1 ≤ B)
8 simprr 484 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 𝑘 (ℤ𝑗))
9 leexp2a 8921 . . . . . . . 8 ((B 1 ≤ B 𝑘 (ℤ𝑗)) → (B𝑗) ≤ (B𝑘))
102, 7, 8, 9syl3anc 1134 . . . . . . 7 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (B𝑗) ≤ (B𝑘))
11 0red 6786 . . . . . . . . . . 11 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 0 ℝ)
12 1red 6800 . . . . . . . . . . 11 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 1 ℝ)
13 0lt1 6898 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
1413a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 0 < 1)
1511, 12, 2, 14, 3lttrd 6897 . . . . . . . . . 10 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 0 < B)
162, 15elrpd 8355 . . . . . . . . 9 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → B +)
17 nnz 8000 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ℕ → 𝑗 ℤ)
1817ad2antrl 459 . . . . . . . . 9 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 𝑗 ℤ)
19 rpexpcl 8888 . . . . . . . . 9 ((B + 𝑗 ℤ) → (B𝑗) +)
2016, 18, 19syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (B𝑗) +)
21 eluzelz 8218 . . . . . . . . . 10 (𝑘 (ℤ𝑗) → 𝑘 ℤ)
2221ad2antll 460 . . . . . . . . 9 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 𝑘 ℤ)
23 rpexpcl 8888 . . . . . . . . 9 ((B + 𝑘 ℤ) → (B𝑘) +)
2416, 22, 23syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (B𝑘) +)
2520, 24lerecd 8376 . . . . . . 7 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → ((B𝑗) ≤ (B𝑘) ↔ (1 / (B𝑘)) ≤ (1 / (B𝑗))))
2610, 25mpbid 135 . . . . . 6 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (1 / (B𝑘)) ≤ (1 / (B𝑗)))
2724rprecred 8368 . . . . . . 7 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (1 / (B𝑘)) ℝ)
2820rprecred 8368 . . . . . . 7 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (1 / (B𝑗)) ℝ)
29 simpl1 906 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → A +)
3029rpred 8357 . . . . . . 7 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → A ℝ)
31 lelttr 6863 . . . . . . 7 (((1 / (B𝑘)) (1 / (B𝑗)) A ℝ) → (((1 / (B𝑘)) ≤ (1 / (B𝑗)) (1 / (B𝑗)) < A) → (1 / (B𝑘)) < A))
3227, 28, 30, 31syl3anc 1134 . . . . . 6 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (((1 / (B𝑘)) ≤ (1 / (B𝑗)) (1 / (B𝑗)) < A) → (1 / (B𝑘)) < A))
3326, 32mpand 405 . . . . 5 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → ((1 / (B𝑗)) < A → (1 / (B𝑘)) < A))
3433anassrs 380 . . . 4 ((((A + B 1 < B) 𝑗 ℕ) 𝑘 (ℤ𝑗)) → ((1 / (B𝑗)) < A → (1 / (B𝑘)) < A))
3534ralrimdva 2393 . . 3 (((A + B 1 < B) 𝑗 ℕ) → ((1 / (B𝑗)) < A𝑘 (ℤ𝑗)(1 / (B𝑘)) < A))
3635reximdva 2415 . 2 ((A + B 1 < B) → (𝑗 ℕ (1 / (B𝑗)) < A𝑗 𝑘 (ℤ𝑗)(1 / (B𝑘)) < A))
371, 36mpd 13 1 ((A + B 1 < B) → 𝑗 𝑘 (ℤ𝑗)(1 / (B𝑘)) < A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   < clt 6817  cle 6818   / cdiv 7393  cn 7655  cz 7981  cuz 8209  +crp 8318  cexp 8868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761  ax-arch 6762
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-rp 8319  df-iseq 8853  df-iexp 8869
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator