Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnlbnd2 GIF version

Theorem expnlbnd2 9374
 Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expnlbnd2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd2
StepHypRef Expression
1 expnlbnd 9373 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴)
2 simpl2 908 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simpl3 909 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 < 𝐵)
4 1re 7026 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
5 ltle 7105 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
64, 2, 5sylancr 393 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
73, 6mpd 13 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 ≤ 𝐵)
8 simprr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
9 leexp2a 9307 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘))
102, 7, 8, 9syl3anc 1135 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘))
11 0red 7028 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
12 1red 7042 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 ∈ ℝ)
13 0lt1 7141 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
1413a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < 1)
1511, 12, 2, 14, 3lttrd 7140 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < 𝐵)
162, 15elrpd 8620 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
17 nnz 8264 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
1817ad2antrl 459 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
19 rpexpcl 9274 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ+)
2016, 18, 19syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ+)
21 eluzelz 8482 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
2221ad2antll 460 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
23 rpexpcl 9274 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
2416, 22, 23syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
2520, 24lerecd 8642 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘) ↔ (1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗))))
2610, 25mpbid 135 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)))
2724rprecred 8634 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
2820rprecred 8634 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑗)) ∈ ℝ)
29 simpl1 907 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3029rpred 8622 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31 lelttr 7106 . . . . . . 7 (((1 / (𝐵𝑘)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐵𝑗)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)) ∧ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3227, 28, 30, 31syl3anc 1135 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)) ∧ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3326, 32mpand 405 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3433anassrs 380 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3534ralrimdva 2399 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3635reximdva 2421 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
371, 36mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   < clt 7060   ≤ cle 7061   / cdiv 7651  ℕcn 7914  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473  ℝ+crp 8583  ↑cexp 9254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator