Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnlbnd2 GIF version

Theorem expnlbnd2 9027
 Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expnlbnd2 ((A + B 1 < B) → 𝑗 𝑘 (ℤ𝑗)(1 / (B𝑘)) < A)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,A   B,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd2
StepHypRef Expression
1 expnlbnd 9026 . 2 ((A + B 1 < B) → 𝑗 ℕ (1 / (B𝑗)) < A)
2 simpl2 907 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → B ℝ)
3 simpl3 908 . . . . . . . . 9 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 1 < B)
4 1re 6824 . . . . . . . . . 10 1
5 ltle 6902 . . . . . . . . . 10 ((1 B ℝ) → (1 < B → 1 ≤ B))
64, 2, 5sylancr 393 . . . . . . . . 9 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (1 < B → 1 ≤ B))
73, 6mpd 13 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 1 ≤ B)
8 simprr 484 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 𝑘 (ℤ𝑗))
9 leexp2a 8961 . . . . . . . 8 ((B 1 ≤ B 𝑘 (ℤ𝑗)) → (B𝑗) ≤ (B𝑘))
102, 7, 8, 9syl3anc 1134 . . . . . . 7 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (B𝑗) ≤ (B𝑘))
11 0red 6826 . . . . . . . . . . 11 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 0 ℝ)
12 1red 6840 . . . . . . . . . . 11 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 1 ℝ)
13 0lt1 6938 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
1413a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 0 < 1)
1511, 12, 2, 14, 3lttrd 6937 . . . . . . . . . 10 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 0 < B)
162, 15elrpd 8395 . . . . . . . . 9 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → B +)
17 nnz 8040 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ℕ → 𝑗 ℤ)
1817ad2antrl 459 . . . . . . . . 9 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 𝑗 ℤ)
19 rpexpcl 8928 . . . . . . . . 9 ((B + 𝑗 ℤ) → (B𝑗) +)
2016, 18, 19syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (B𝑗) +)
21 eluzelz 8258 . . . . . . . . . 10 (𝑘 (ℤ𝑗) → 𝑘 ℤ)
2221ad2antll 460 . . . . . . . . 9 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → 𝑘 ℤ)
23 rpexpcl 8928 . . . . . . . . 9 ((B + 𝑘 ℤ) → (B𝑘) +)
2416, 22, 23syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (B𝑘) +)
2520, 24lerecd 8416 . . . . . . 7 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → ((B𝑗) ≤ (B𝑘) ↔ (1 / (B𝑘)) ≤ (1 / (B𝑗))))
2610, 25mpbid 135 . . . . . 6 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (1 / (B𝑘)) ≤ (1 / (B𝑗)))
2724rprecred 8408 . . . . . . 7 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (1 / (B𝑘)) ℝ)
2820rprecred 8408 . . . . . . 7 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (1 / (B𝑗)) ℝ)
29 simpl1 906 . . . . . . . 8 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → A +)
3029rpred 8397 . . . . . . 7 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → A ℝ)
31 lelttr 6903 . . . . . . 7 (((1 / (B𝑘)) (1 / (B𝑗)) A ℝ) → (((1 / (B𝑘)) ≤ (1 / (B𝑗)) (1 / (B𝑗)) < A) → (1 / (B𝑘)) < A))
3227, 28, 30, 31syl3anc 1134 . . . . . 6 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → (((1 / (B𝑘)) ≤ (1 / (B𝑗)) (1 / (B𝑗)) < A) → (1 / (B𝑘)) < A))
3326, 32mpand 405 . . . . 5 (((A + B 1 < B) (𝑗 𝑘 (ℤ𝑗))) → ((1 / (B𝑗)) < A → (1 / (B𝑘)) < A))
3433anassrs 380 . . . 4 ((((A + B 1 < B) 𝑗 ℕ) 𝑘 (ℤ𝑗)) → ((1 / (B𝑗)) < A → (1 / (B𝑘)) < A))
3534ralrimdva 2393 . . 3 (((A + B 1 < B) 𝑗 ℕ) → ((1 / (B𝑗)) < A𝑘 (ℤ𝑗)(1 / (B𝑘)) < A))
3635reximdva 2415 . 2 ((A + B 1 < B) → (𝑗 ℕ (1 / (B𝑗)) < A𝑗 𝑘 (ℤ𝑗)(1 / (B𝑘)) < A))
371, 36mpd 13 1 ((A + B 1 < B) → 𝑗 𝑘 (ℤ𝑗)(1 / (B𝑘)) < A)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   < clt 6857   ≤ cle 6858   / cdiv 7433  ℕcn 7695  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249  ℝ+crp 8358  ↑cexp 8908 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801  ax-arch 6802 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-rp 8359  df-iseq 8893  df-iexp 8909 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator