Theorem expnlbnd2 9027

Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expnlbnd2	⊢ ((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (B↑𝑘)) < A)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,A   B,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expnlbnd 9026	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (B↑𝑗)) < A)
2		simpl2 907	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → B ∈ ℝ)
3		simpl3 908	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 < B)
4		1re 6824	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		ltle 6902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (1 < B → 1 ≤ B))
6	4, 2, 5	sylancr 393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 < B → 1 ≤ B))
7	3, 6	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 ≤ B)
8		simprr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
9		leexp2a 8961	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 1 ≤ B ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (B↑𝑗) ≤ (B↑𝑘))
10	2, 7, 8, 9	syl3anc 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (B↑𝑗) ≤ (B↑𝑘))
11		0red 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
12		1red 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 ∈ ℝ)
13		0lt1 6938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < 1)
15	11, 12, 2, 14, 3	lttrd 6937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < B)
16	2, 15	elrpd 8395	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → B ∈ ℝ+)
17		nnz 8040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
18	17	ad2antrl 459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
19		rpexpcl 8928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (B↑𝑗) ∈ ℝ+)
20	16, 18, 19	syl2anc 391	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (B↑𝑗) ∈ ℝ+)
21		eluzelz 8258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	ad2antll 460	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
23		rpexpcl 8928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (B↑𝑘) ∈ ℝ+)
24	16, 22, 23	syl2anc 391	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (B↑𝑘) ∈ ℝ+)
25	20, 24	lerecd 8416	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((B↑𝑗) ≤ (B↑𝑘) ↔ (1 / (B↑𝑘)) ≤ (1 / (B↑𝑗))))
26	10, 25	mpbid 135	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (B↑𝑘)) ≤ (1 / (B↑𝑗)))
27	24	rprecred 8408	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (B↑𝑘)) ∈ ℝ)
28	20	rprecred 8408	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (B↑𝑗)) ∈ ℝ)
29		simpl1 906	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → A ∈ ℝ+)
30	29	rpred 8397	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → A ∈ ℝ)
31		lelttr 6903	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (B↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (1 / (B↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (((1 / (B↑𝑘)) ≤ (1 / (B↑𝑗)) ∧ (1 / (B↑𝑗)) < A) → (1 / (B↑𝑘)) < A))
32	27, 28, 30, 31	syl3anc 1134	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((1 / (B↑𝑘)) ≤ (1 / (B↑𝑗)) ∧ (1 / (B↑𝑗)) < A) → (1 / (B↑𝑘)) < A))
33	26, 32	mpand 405	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((1 / (B↑𝑗)) < A → (1 / (B↑𝑘)) < A))
34	33	anassrs 380	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((1 / (B↑𝑗)) < A → (1 / (B↑𝑘)) < A))
35	34	ralrimdva 2393	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / (B↑𝑗)) < A → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (B↑𝑘)) < A))
36	35	reximdva 2415	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) → (∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (B↑𝑗)) < A → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (B↑𝑘)) < A))
37	1, 36	mpd 13	1 ⊢ ((A ∈ ℝ+ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 < B) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (B↑𝑘)) < A)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   < clt 6857   ≤ cle 6858   / cdiv 7433  ℕcn 7695  ℤcz 8021  ℤ_≥cuz 8249  ℝ⁺crp 8358  ↑cexp 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801  ax-arch 6802

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-rp 8359  df-iseq 8893  df-iexp 8909

This theorem is referenced by: (None)