Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recreclt GIF version

Theorem recreclt 7647
 Description: Given a positive number A, construct a new positive number less than both A and 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
recreclt ((A 0 < A) → ((1 / (1 + (1 / A))) < 1 (1 / (1 + (1 / A))) < A))

Proof of Theorem recreclt
StepHypRef Expression
1 recgt0 7597 . . . 4 ((A 0 < A) → 0 < (1 / A))
2 simpl 102 . . . . . 6 ((A 0 < A) → A ℝ)
3 gt0ap0 7408 . . . . . 6 ((A 0 < A) → A # 0)
42, 3rerecclapd 7588 . . . . 5 ((A 0 < A) → (1 / A) ℝ)
5 1re 6824 . . . . 5 1
6 ltaddpos 7242 . . . . 5 (((1 / A) 1 ℝ) → (0 < (1 / A) ↔ 1 < (1 + (1 / A))))
74, 5, 6sylancl 392 . . . 4 ((A 0 < A) → (0 < (1 / A) ↔ 1 < (1 + (1 / A))))
81, 7mpbid 135 . . 3 ((A 0 < A) → 1 < (1 + (1 / A)))
9 readdcl 6805 . . . . 5 ((1 (1 / A) ℝ) → (1 + (1 / A)) ℝ)
105, 4, 9sylancr 393 . . . 4 ((A 0 < A) → (1 + (1 / A)) ℝ)
11 0lt1 6938 . . . . . 6 0 < 1
12 0re 6825 . . . . . . . 8 0
13 lttr 6889 . . . . . . . 8 ((0 1 (1 + (1 / A)) ℝ) → ((0 < 1 1 < (1 + (1 / A))) → 0 < (1 + (1 / A))))
1412, 5, 13mp3an12 1221 . . . . . . 7 ((1 + (1 / A)) ℝ → ((0 < 1 1 < (1 + (1 / A))) → 0 < (1 + (1 / A))))
1510, 14syl 14 . . . . . 6 ((A 0 < A) → ((0 < 1 1 < (1 + (1 / A))) → 0 < (1 + (1 / A))))
1611, 15mpani 406 . . . . 5 ((A 0 < A) → (1 < (1 + (1 / A)) → 0 < (1 + (1 / A))))
178, 16mpd 13 . . . 4 ((A 0 < A) → 0 < (1 + (1 / A)))
18 recgt1 7644 . . . 4 (((1 + (1 / A)) 0 < (1 + (1 / A))) → (1 < (1 + (1 / A)) ↔ (1 / (1 + (1 / A))) < 1))
1910, 17, 18syl2anc 391 . . 3 ((A 0 < A) → (1 < (1 + (1 / A)) ↔ (1 / (1 + (1 / A))) < 1))
208, 19mpbid 135 . 2 ((A 0 < A) → (1 / (1 + (1 / A))) < 1)
21 ltaddpos 7242 . . . . . 6 ((1 (1 / A) ℝ) → (0 < 1 ↔ (1 / A) < ((1 / A) + 1)))
225, 4, 21sylancr 393 . . . . 5 ((A 0 < A) → (0 < 1 ↔ (1 / A) < ((1 / A) + 1)))
2311, 22mpbii 136 . . . 4 ((A 0 < A) → (1 / A) < ((1 / A) + 1))
244recnd 6851 . . . . 5 ((A 0 < A) → (1 / A) ℂ)
25 ax-1cn 6776 . . . . 5 1
26 addcom 6947 . . . . 5 (((1 / A) 1 ℂ) → ((1 / A) + 1) = (1 + (1 / A)))
2724, 25, 26sylancl 392 . . . 4 ((A 0 < A) → ((1 / A) + 1) = (1 + (1 / A)))
2823, 27breqtrd 3779 . . 3 ((A 0 < A) → (1 / A) < (1 + (1 / A)))
29 simpr 103 . . . 4 ((A 0 < A) → 0 < A)
30 ltrec1 7635 . . . 4 (((A 0 < A) ((1 + (1 / A)) 0 < (1 + (1 / A)))) → ((1 / A) < (1 + (1 / A)) ↔ (1 / (1 + (1 / A))) < A))
312, 29, 10, 17, 30syl22anc 1135 . . 3 ((A 0 < A) → ((1 / A) < (1 + (1 / A)) ↔ (1 / (1 + (1 / A))) < A))
3228, 31mpbid 135 . 2 ((A 0 < A) → (1 / (1 + (1 / A))) < A)
3320, 32jca 290 1 ((A 0 < A) → ((1 / (1 + (1 / A))) < 1 (1 / (1 + (1 / A))) < A))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857   / cdiv 7433 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator