Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recgt0 Structured version   GIF version

Theorem recgt0 7577
 Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
recgt0 ((A 0 < A) → 0 < (1 / A))

Proof of Theorem recgt0
StepHypRef Expression
1 0lt1 6918 . . . . 5 0 < 1
2 0re 6805 . . . . . 6 0
3 1re 6804 . . . . . 6 1
42, 3ltnsymi 6894 . . . . 5 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
51, 4ax-mp 7 . . . 4 ¬ 1 < 0
6 simpll 481 . . . . . . . . . 10 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → A ℝ)
7 gt0ap0 7388 . . . . . . . . . . 11 ((A 0 < A) → A # 0)
87adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → A # 0)
96, 8rerecclapd 7568 . . . . . . . . 9 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → (1 / A) ℝ)
109renegcld 7154 . . . . . . . 8 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → -(1 / A) ℝ)
11 simpr 103 . . . . . . . . 9 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → (1 / A) < 0)
12 simpl 102 . . . . . . . . . . . 12 ((A 0 < A) → A ℝ)
1312, 7rerecclapd 7568 . . . . . . . . . . 11 ((A 0 < A) → (1 / A) ℝ)
1413adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → (1 / A) ℝ)
1514lt0neg1d 7282 . . . . . . . . 9 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → ((1 / A) < 0 ↔ 0 < -(1 / A)))
1611, 15mpbid 135 . . . . . . . 8 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → 0 < -(1 / A))
17 simplr 482 . . . . . . . 8 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → 0 < A)
1810, 6, 16, 17mulgt0d 6914 . . . . . . 7 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → 0 < (-(1 / A) · A))
1912recnd 6831 . . . . . . . . . . 11 ((A 0 < A) → A ℂ)
2019adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → A ℂ)
21 recclap 7420 . . . . . . . . . 10 ((A A # 0) → (1 / A) ℂ)
2220, 8, 21syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → (1 / A) ℂ)
2322, 20mulneg1d 7184 . . . . . . . 8 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → (-(1 / A) · A) = -((1 / A) · A))
24 recidap2 7428 . . . . . . . . . 10 ((A A # 0) → ((1 / A) · A) = 1)
2520, 8, 24syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → ((1 / A) · A) = 1)
2625negeqd 6983 . . . . . . . 8 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → -((1 / A) · A) = -1)
2723, 26eqtrd 2069 . . . . . . 7 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → (-(1 / A) · A) = -1)
2818, 27breqtrd 3779 . . . . . 6 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → 0 < -1)
29 1red 6820 . . . . . . 7 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → 1 ℝ)
3029lt0neg1d 7282 . . . . . 6 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
3128, 30mpbird 156 . . . . 5 (((A 0 < A) (1 / A) < 0) → 1 < 0)
3231ex 108 . . . 4 ((A 0 < A) → ((1 / A) < 0 → 1 < 0))
335, 32mtoi 589 . . 3 ((A 0 < A) → ¬ (1 / A) < 0)
34 lenlt 6871 . . . 4 ((0 (1 / A) ℝ) → (0 ≤ (1 / A) ↔ ¬ (1 / A) < 0))
352, 13, 34sylancr 393 . . 3 ((A 0 < A) → (0 ≤ (1 / A) ↔ ¬ (1 / A) < 0))
3633, 35mpbird 156 . 2 ((A 0 < A) → 0 ≤ (1 / A))
37 recap0 7426 . . . 4 ((A A # 0) → (1 / A) # 0)
3819, 7, 37syl2anc 391 . . 3 ((A 0 < A) → (1 / A) # 0)
3919, 7, 21syl2anc 391 . . . 4 ((A 0 < A) → (1 / A) ℂ)
40 0cn 6797 . . . 4 0
41 apsym 7370 . . . 4 (((1 / A) 0 ℂ) → ((1 / A) # 0 ↔ 0 # (1 / A)))
4239, 40, 41sylancl 392 . . 3 ((A 0 < A) → ((1 / A) # 0 ↔ 0 # (1 / A)))
4338, 42mpbid 135 . 2 ((A 0 < A) → 0 # (1 / A))
44 ltleap 7393 . . 3 ((0 (1 / A) ℝ) → (0 < (1 / A) ↔ (0 ≤ (1 / A) 0 # (1 / A))))
452, 13, 44sylancr 393 . 2 ((A 0 < A) → (0 < (1 / A) ↔ (0 ≤ (1 / A) 0 # (1 / A))))
4636, 43, 45mpbir2and 850 1 ((A 0 < A) → 0 < (1 / A))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6689  ℝcr 6690  0cc0 6691  1c1 6692   · cmul 6696   < clt 6837   ≤ cle 6838  -cneg 6960   # cap 7345   / cdiv 7413 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346  df-div 7414 This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  7578  ltdiv1  7595  ltrec1  7615  lerec2  7616  lediv12a  7621  recgt1i  7625  recreclt  7627  recgt0i  7633  recgt0ii  7634  recgt0d  7661  nnrecgt0  7712  nnrecl  7935
 Copyright terms: Public domain W3C validator