Theorem recgt0 7816

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
recgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))

Proof of Theorem recgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 7141	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		0re 7027	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 7026	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsymi 7117	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
6		simpll 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		gt0ap0 7616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
8	7	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 # 0)
9	6, 8	rerecclapd 7807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	renegcld 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -(1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11		simpr 103	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) < 0)
12		simpl 102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12, 7	rerecclapd 7807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
14	13	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15	14	lt0neg1d 7507	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
16	11, 15	mpbid 135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -(1 / 𝐴))
17		simplr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 𝐴)
18	10, 6, 16, 17	mulgt0d 7137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
19	12	recnd 7054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
21		recclap 7658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
22	20, 8, 21	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
23	22, 20	mulneg1d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴))
24		recidap2 7666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
25	20, 8, 24	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
26	25	negeqd 7206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
27	23, 26	eqtrd 2072	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
28	18, 27	breqtrd 3788	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -1)
29		1red 7042	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 ∈ ℝ)
30	29	lt0neg1d 7507	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
31	28, 30	mpbird 156	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 < 0)
32	31	ex 108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0))
33	5, 32	mtoi 590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
34		lenlt 7094	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
35	2, 13, 34	sylancr 393	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
36	33, 35	mpbird 156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
37		recap0 7664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) # 0)
38	19, 7, 37	syl2anc 391	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) # 0)
39	19, 7, 21	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
40		0cn 7019	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
41		apsym 7597	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴) # 0 ↔ 0 # (1 / 𝐴)))
42	39, 40, 41	sylancl 392	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) # 0 ↔ 0 # (1 / 𝐴)))
43	38, 42	mpbid 135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 # (1 / 𝐴))
44		ltleap 7621	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0 # (1 / 𝐴))))
45	2, 13, 44	sylancr 393	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0 # (1 / 𝐴))))
46	36, 43, 45	mpbir2and 851	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   · cmul 6894   < clt 7060   ≤ cle 7061  -cneg 7183   # cap 7572   / cdiv 7651

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  7817  ltdiv1  7834  ltrec1  7854  lerec2  7855  lediv12a  7860  recgt1i  7864  recreclt  7866  recgt0i  7872  recgt0ii  7873  recgt0d  7900  nnrecgt0  7951  nnrecl  8179