Theorem recgt0 7597

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
recgt0	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → 0 < (1 / A))

Proof of Theorem recgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 6938	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		0re 6825	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 6824	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsymi 6914	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
6		simpll 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → A ∈ ℝ)
7		gt0ap0 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → A # 0)
8	7	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → A # 0)
9	6, 8	rerecclapd 7588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → (1 / A) ∈ ℝ)
10	9	renegcld 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → -(1 / A) ∈ ℝ)
11		simpr 103	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → (1 / A) < 0)
12		simpl 102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → A ∈ ℝ)
13	12, 7	rerecclapd 7588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → (1 / A) ∈ ℝ)
14	13	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → (1 / A) ∈ ℝ)
15	14	lt0neg1d 7302	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → ((1 / A) < 0 ↔ 0 < -(1 / A)))
16	11, 15	mpbid 135	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → 0 < -(1 / A))
17		simplr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → 0 < A)
18	10, 6, 16, 17	mulgt0d 6934	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → 0 < (-(1 / A) · A))
19	12	recnd 6851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → A ∈ ℂ)
20	19	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → A ∈ ℂ)
21		recclap 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0) → (1 / A) ∈ ℂ)
22	20, 8, 21	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → (1 / A) ∈ ℂ)
23	22, 20	mulneg1d 7204	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → (-(1 / A) · A) = -((1 / A) · A))
24		recidap2 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0) → ((1 / A) · A) = 1)
25	20, 8, 24	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → ((1 / A) · A) = 1)
26	25	negeqd 7003	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → -((1 / A) · A) = -1)
27	23, 26	eqtrd 2069	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → (-(1 / A) · A) = -1)
28	18, 27	breqtrd 3779	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → 0 < -1)
29		1red 6840	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → 1 ∈ ℝ)
30	29	lt0neg1d 7302	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
31	28, 30	mpbird 156	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ (1 / A) < 0) → 1 < 0)
32	31	ex 108	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → ((1 / A) < 0 → 1 < 0))
33	5, 32	mtoi 589	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → ¬ (1 / A) < 0)
34		lenlt 6891	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / A) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 / A) ↔ ¬ (1 / A) < 0))
35	2, 13, 34	sylancr 393	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → (0 ≤ (1 / A) ↔ ¬ (1 / A) < 0))
36	33, 35	mpbird 156	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → 0 ≤ (1 / A))
37		recap0 7446	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0) → (1 / A) # 0)
38	19, 7, 37	syl2anc 391	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → (1 / A) # 0)
39	19, 7, 21	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → (1 / A) ∈ ℂ)
40		0cn 6817	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
41		apsym 7390	. . . 4 ⊢ (((1 / A) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((1 / A) # 0 ↔ 0 # (1 / A)))
42	39, 40, 41	sylancl 392	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → ((1 / A) # 0 ↔ 0 # (1 / A)))
43	38, 42	mpbid 135	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → 0 # (1 / A))
44		ltleap 7413	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / A) ∈ ℝ) → (0 < (1 / A) ↔ (0 ≤ (1 / A) ∧ 0 # (1 / A))))
45	2, 13, 44	sylancr 393	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → (0 < (1 / A) ↔ (0 ≤ (1 / A) ∧ 0 # (1 / A))))
46	36, 43, 45	mpbir2and 850	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → 0 < (1 / A))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   · cmul 6716   < clt 6857   ≤ cle 6858  -cneg 6980   # cap 7365   / cdiv 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  7598  ltdiv1  7615  ltrec1  7635  lerec2  7636  lediv12a  7641  recgt1i  7645  recreclt  7647  recgt0i  7653  recgt0ii  7654  recgt0d  7681  nnrecgt0  7732  nnrecl  7955