ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenlt Structured version   GIF version

Theorem lenlt 6891
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt ((A B ℝ) → (AB ↔ ¬ B < A))

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 6868 . 2 (A ℝ → A *)
2 rexr 6868 . 2 (B ℝ → B *)
3 xrlenlt 6881 . 2 ((A * B *) → (AB ↔ ¬ B < A))
41, 2, 3syl2an 273 1 ((A B ℝ) → (AB ↔ ¬ B < A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wcel 1390   class class class wbr 3755  cr 6710  *cxr 6856   < clt 6857  cle 6858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-xr 6861  df-le 6863
This theorem is referenced by:  letri3  6896  ltleletr  6897  letr  6898  leid  6899  ltle  6902  lelttr  6903  ltletr  6904  lenlti  6915  lenltd  6931  lemul1  7377  msqge0  7400  mulge0  7403  ltleap  7413  recgt0  7597  lediv1  7616  nnge1  7718  nnnlt1  7721  avgle1  7942  avgle2  7943  nn0nlt0  7984  zltnle  8067  zleloe  8068  zdcle  8093  recnz  8109  btwnnz  8110  prime  8113  fznlem  8675  fzonlt0  8793
  Copyright terms: Public domain W3C validator