ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenlt Structured version   GIF version

Theorem lenlt 6843
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt ((A B ℝ) → (AB ↔ ¬ B < A))

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 6820 . 2 (A ℝ → A *)
2 rexr 6820 . 2 (B ℝ → B *)
3 xrlenlt 6833 . 2 ((A * B *) → (AB ↔ ¬ B < A))
41, 2, 3syl2an 273 1 ((A B ℝ) → (AB ↔ ¬ B < A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wcel 1390   class class class wbr 3754  cr 6662  *cxr 6808   < clt 6809  cle 6810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-br 3755  df-opab 3809  df-xp 4293  df-cnv 4295  df-xr 6813  df-le 6815
This theorem is referenced by:  letri3  6848  ltleletr  6849  letr  6850  leid  6851  ltle  6854  lelttr  6855  ltletr  6856  lenlti  6867  lenltd  6883  lemul1  7329  msqge0  7352  mulge0  7355  ltleap  7365  recgt0  7548  lediv1  7567  nnge1  7669  nnnlt1  7672  avgle1  7892  avgle2  7893  nn0nlt0  7934  zltnle  8017  zleloe  8018  zdcle  8043  recnz  8058  btwnnz  8059  prime  8062  fznlem  8621  fzonlt0  8739
  Copyright terms: Public domain W3C validator