ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apsym Structured version   GIF version

Theorem apsym 7370
Description: Apartness is symmetric. This theorem for real numbers is part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apsym ((A B ℂ) → (A # BB # A))

Proof of Theorem apsym
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 6801 . . 3 (B ℂ → z w B = (z + (i · w)))
21adantl 262 . 2 ((A B ℂ) → z w B = (z + (i · w)))
3 cnre 6801 . . . . . 6 (A ℂ → x y A = (x + (i · y)))
43ad3antrrr 461 . . . . 5 ((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → x y A = (x + (i · y)))
5 simplrl 487 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → x ℝ)
6 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → z ℝ)
76ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → z ℝ)
8 reaplt 7352 . . . . . . . . . . . 12 ((x z ℝ) → (x # z ↔ (x < z z < x)))
95, 7, 8syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (x # z ↔ (x < z z < x)))
10 reaplt 7352 . . . . . . . . . . . . 13 ((z x ℝ) → (z # x ↔ (z < x x < z)))
117, 5, 10syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (z # x ↔ (z < x x < z)))
12 orcom 646 . . . . . . . . . . . 12 ((x < z z < x) ↔ (z < x x < z))
1311, 12syl6bbr 187 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (z # x ↔ (x < z z < x)))
149, 13bitr4d 180 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (x # zz # x))
15 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → y ℝ)
16 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → w ℝ)
1716ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → w ℝ)
18 reaplt 7352 . . . . . . . . . . . 12 ((y w ℝ) → (y # w ↔ (y < w w < y)))
1915, 17, 18syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (y # w ↔ (y < w w < y)))
20 reaplt 7352 . . . . . . . . . . . . 13 ((w y ℝ) → (w # y ↔ (w < y y < w)))
2117, 15, 20syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (w # y ↔ (w < y y < w)))
22 orcom 646 . . . . . . . . . . . 12 ((y < w w < y) ↔ (w < y y < w))
2321, 22syl6bbr 187 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (w # y ↔ (y < w w < y)))
2419, 23bitr4d 180 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (y # ww # y))
2514, 24orbi12d 706 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x # z y # w) ↔ (z # x w # y)))
26 apreim 7367 . . . . . . . . . 10 (((x y ℝ) (z w ℝ)) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
275, 15, 7, 17, 26syl22anc 1135 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
28 apreim 7367 . . . . . . . . . 10 (((z w ℝ) (x y ℝ)) → ((z + (i · w)) # (x + (i · y)) ↔ (z # x w # y)))
297, 17, 5, 15, 28syl22anc 1135 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((z + (i · w)) # (x + (i · y)) ↔ (z # x w # y)))
3025, 27, 293bitr4d 209 . . . . . . . 8 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (z + (i · w)) # (x + (i · y))))
31 simpr 103 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → A = (x + (i · y)))
32 simpllr 486 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → B = (z + (i · w)))
3331, 32breq12d 3768 . . . . . . . 8 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
3432, 31breq12d 3768 . . . . . . . 8 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (B # A ↔ (z + (i · w)) # (x + (i · y))))
3530, 33, 343bitr4d 209 . . . . . . 7 ((((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # BB # A))
3635ex 108 . . . . . 6 (((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) → (A = (x + (i · y)) → (A # BB # A)))
3736rexlimdvva 2434 . . . . 5 ((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (x y A = (x + (i · y)) → (A # BB # A)))
384, 37mpd 13 . . . 4 ((((A B ℂ) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (A # BB # A))
3938ex 108 . . 3 (((A B ℂ) (z w ℝ)) → (B = (z + (i · w)) → (A # BB # A)))
4039rexlimdvva 2434 . 2 ((A B ℂ) → (z w B = (z + (i · w)) → (A # BB # A)))
412, 40mpd 13 1 ((A B ℂ) → (A # BB # A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6689  cr 6690  ici 6693   + caddc 6694   · cmul 6696   < clt 6837   # cap 7345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-ltxr 6842  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346
This theorem is referenced by:  addext  7374  mulext  7378  recgt0  7577  prodgt0  7579
  Copyright terms: Public domain W3C validator