ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apcotr Structured version   GIF version

Theorem apcotr 7391
Description: Apartness is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apcotr ((A B 𝐶 ℂ) → (A # B → (A # 𝐶 B # 𝐶)))

Proof of Theorem apcotr
Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 6821 . . 3 (𝐶 ℂ → u v 𝐶 = (u + (i · v)))
213ad2ant3 926 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → u v 𝐶 = (u + (i · v)))
3 cnre 6821 . . . . . . 7 (B ℂ → z w B = (z + (i · w)))
433ad2ant2 925 . . . . . 6 ((A B 𝐶 ℂ) → z w B = (z + (i · w)))
54ad2antrr 457 . . . . 5 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → z w B = (z + (i · w)))
6 cnre 6821 . . . . . . . . . . 11 (A ℂ → x y A = (x + (i · y)))
763ad2ant1 924 . . . . . . . . . 10 ((A B 𝐶 ℂ) → x y A = (x + (i · y)))
87adantr 261 . . . . . . . . 9 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → x y A = (x + (i · y)))
98ad3antrrr 461 . . . . . . . 8 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → x y A = (x + (i · y)))
10 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → A = (x + (i · y)))
11 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → B = (z + (i · w)))
1210, 11breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
13 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → x ℝ)
14 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → y ℝ)
15 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → z ℝ)
1615ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → z ℝ)
17 simprr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → w ℝ)
1817ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → w ℝ)
19 apreim 7387 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x y ℝ) (z w ℝ)) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
2013, 14, 16, 18, 19syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
2112, 20bitrd 177 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (x # z y # w)))
22 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → u ℝ)
2322ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → u ℝ)
2423ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → u ℝ)
25 reapcotr 7382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((x z u ℝ) → (x # z → (x # u z # u)))
2613, 16, 24, 25syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (x # z → (x # u z # u)))
27 simprr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → v ℝ)
2827ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → v ℝ)
2928ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → v ℝ)
30 reapcotr 7382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((y w v ℝ) → (y # w → (y # v w # v)))
3114, 18, 29, 30syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (y # w → (y # v w # v)))
3226, 31orim12d 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x # z y # w) → ((x # u z # u) (y # v w # v))))
3321, 32sylbid 139 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # B → ((x # u z # u) (y # v w # v))))
34 or4 687 . . . . . . . . . . . 12 (((x # u z # u) (y # v w # v)) ↔ ((x # u y # v) (z # u w # v)))
3533, 34syl6ib 150 . . . . . . . . . . 11 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # B → ((x # u y # v) (z # u w # v))))
36 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → 𝐶 = (u + (i · v)))
3736ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → 𝐶 = (u + (i · v)))
3810, 37breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # 𝐶 ↔ (x + (i · y)) # (u + (i · v))))
39 apreim 7387 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x y ℝ) (u v ℝ)) → ((x + (i · y)) # (u + (i · v)) ↔ (x # u y # v)))
4013, 14, 24, 29, 39syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (u + (i · v)) ↔ (x # u y # v)))
4138, 40bitrd 177 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # 𝐶 ↔ (x # u y # v)))
4211, 37breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (B # 𝐶 ↔ (z + (i · w)) # (u + (i · v))))
43 apreim 7387 . . . . . . . . . . . . . 14 (((z w ℝ) (u v ℝ)) → ((z + (i · w)) # (u + (i · v)) ↔ (z # u w # v)))
4416, 18, 24, 29, 43syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((z + (i · w)) # (u + (i · v)) ↔ (z # u w # v)))
4542, 44bitrd 177 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (B # 𝐶 ↔ (z # u w # v)))
4641, 45orbi12d 706 . . . . . . . . . . 11 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((A # 𝐶 B # 𝐶) ↔ ((x # u y # v) (z # u w # v))))
4735, 46sylibrd 158 . . . . . . . . . 10 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # B → (A # 𝐶 B # 𝐶)))
4847ex 108 . . . . . . . . 9 (((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) → (A = (x + (i · y)) → (A # B → (A # 𝐶 B # 𝐶))))
4948rexlimdvva 2434 . . . . . . . 8 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (x y A = (x + (i · y)) → (A # B → (A # 𝐶 B # 𝐶))))
509, 49mpd 13 . . . . . . 7 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (A # B → (A # 𝐶 B # 𝐶)))
5150ex 108 . . . . . 6 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → (B = (z + (i · w)) → (A # B → (A # 𝐶 B # 𝐶))))
5251rexlimdvva 2434 . . . . 5 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → (z w B = (z + (i · w)) → (A # B → (A # 𝐶 B # 𝐶))))
535, 52mpd 13 . . . 4 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → (A # B → (A # 𝐶 B # 𝐶)))
5453ex 108 . . 3 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → (𝐶 = (u + (i · v)) → (A # B → (A # 𝐶 B # 𝐶))))
5554rexlimdvva 2434 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → (u v 𝐶 = (u + (i · v)) → (A # B → (A # 𝐶 B # 𝐶))))
562, 55mpd 13 1 ((A B 𝐶 ℂ) → (A # B → (A # 𝐶 B # 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6709  cr 6710  ici 6713   + caddc 6714   · cmul 6716   # cap 7365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-ltxr 6862  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366
This theorem is referenced by:  addext  7394  mulext  7398
  Copyright terms: Public domain W3C validator