Theorem apcotr 7351

Description: Apartness is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apcotr	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶)))

Proof of Theorem apcotr

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 6781	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃u ∈ ℝ ∃v ∈ ℝ 𝐶 = (u + (i · v)))
2	1	3ad2ant3 926	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃u ∈ ℝ ∃v ∈ ℝ 𝐶 = (u + (i · v)))
3		cnre 6781	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ℂ → ∃z ∈ ℝ ∃w ∈ ℝ B = (z + (i · w)))
4	3	3ad2ant2 925	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃z ∈ ℝ ∃w ∈ ℝ B = (z + (i · w)))
5	4	ad2antrr 457	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) → ∃z ∈ ℝ ∃w ∈ ℝ B = (z + (i · w)))
6		cnre 6781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
7	6	3ad2ant1 924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
8	7	adantr 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
9	8	ad3antrrr 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
10		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → A = (x + (i · y)))
11		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → B = (z + (i · w)))
12	10, 11	breq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
13		simplrl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → x ∈ ℝ)
14		simplrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → y ∈ ℝ)
15		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → z ∈ ℝ)
16	15	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → z ∈ ℝ)
17		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → w ∈ ℝ)
18	17	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → w ∈ ℝ)
19		apreim 7347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z ∨ y # w)))
20	13, 14, 16, 18, 19	syl22anc 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z ∨ y # w)))
21	12, 20	bitrd 177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (x # z ∨ y # w)))
22		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → u ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → u ∈ ℝ)
24	23	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → u ∈ ℝ)
25		reapcotr 7342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ) → (x # z → (x # u ∨ z # u)))
26	13, 16, 24, 25	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (x # z → (x # u ∨ z # u)))
27		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → v ∈ ℝ)
28	27	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → v ∈ ℝ)
29	28	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → v ∈ ℝ)
30		reapcotr 7342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ) → (y # w → (y # v ∨ w # v)))
31	14, 18, 29, 30	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (y # w → (y # v ∨ w # v)))
32	26, 31	orim12d 699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((x # z ∨ y # w) → ((x # u ∨ z # u) ∨ (y # v ∨ w # v))))
33	21, 32	sylbid 139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B → ((x # u ∨ z # u) ∨ (y # v ∨ w # v))))
34		or4 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x # u ∨ z # u) ∨ (y # v ∨ w # v)) ↔ ((x # u ∨ y # v) ∨ (z # u ∨ w # v)))
35	33, 34	syl6ib 150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B → ((x # u ∨ y # v) ∨ (z # u ∨ w # v))))
36		simplr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → 𝐶 = (u + (i · v)))
37	36	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → 𝐶 = (u + (i · v)))
38	10, 37	breq12d 3768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # 𝐶 ↔ (x + (i · y)) # (u + (i · v))))
39		apreim 7347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → ((x + (i · y)) # (u + (i · v)) ↔ (x # u ∨ y # v)))
40	13, 14, 24, 29, 39	syl22anc 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (u + (i · v)) ↔ (x # u ∨ y # v)))
41	38, 40	bitrd 177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # 𝐶 ↔ (x # u ∨ y # v)))
42	11, 37	breq12d 3768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (B # 𝐶 ↔ (z + (i · w)) # (u + (i · v))))
43		apreim 7347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → ((z + (i · w)) # (u + (i · v)) ↔ (z # u ∨ w # v)))
44	16, 18, 24, 29, 43	syl22anc 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((z + (i · w)) # (u + (i · v)) ↔ (z # u ∨ w # v)))
45	42, 44	bitrd 177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (B # 𝐶 ↔ (z # u ∨ w # v)))
46	41, 45	orbi12d 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((A # 𝐶 ∨ B # 𝐶) ↔ ((x # u ∨ y # v) ∨ (z # u ∨ w # v))))
47	35, 46	sylibrd 158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶)))
48	47	ex 108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) → (A = (x + (i · y)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
49	48	rexlimdvva 2434	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) → (∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
50	9, 49	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶)))
51	50	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → (B = (z + (i · w)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
52	51	rexlimdvva 2434	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) → (∃z ∈ ℝ ∃w ∈ ℝ B = (z + (i · w)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
53	5, 52	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶)))
54	53	ex 108	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → (𝐶 = (u + (i · v)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
55	54	rexlimdvva 2434	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃u ∈ ℝ ∃v ∈ ℝ 𝐶 = (u + (i · v)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
56	2, 55	mpd 13	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6669  ℝcr 6670  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676   # cap 7325

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326

This theorem is referenced by:  addext  7354  mulext  7358