Theorem apcotr 7194

Description: Apartness is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apcotr	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶)))

Proof of Theorem apcotr

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 6624	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃u ∈ ℝ ∃v ∈ ℝ 𝐶 = (u + (i · v)))
2	1	3ad2ant3 909	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃u ∈ ℝ ∃v ∈ ℝ 𝐶 = (u + (i · v)))
3		cnre 6624	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ℂ → ∃z ∈ ℝ ∃w ∈ ℝ B = (z + (i · w)))
4	3	3ad2ant2 908	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃z ∈ ℝ ∃w ∈ ℝ B = (z + (i · w)))
5	4	ad2antrr 457	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) → ∃z ∈ ℝ ∃w ∈ ℝ B = (z + (i · w)))
6		cnre 6624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
7	6	3ad2ant1 907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
8	7	adantr 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
9	8	ad3antrrr 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
10		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → A = (x + (i · y)))
11		simpllr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → B = (z + (i · w)))
12	10, 11	breq12d 3740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
13		simplrl 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → x ∈ ℝ)
14		simplrr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → y ∈ ℝ)
15		simprl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → z ∈ ℝ)
16	15	ad3antrrr 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → z ∈ ℝ)
17		simprr 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → w ∈ ℝ)
18	17	ad3antrrr 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → w ∈ ℝ)
19		apreim 7190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z ∨ y # w)))
20	13, 14, 16, 18, 19	syl22anc 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z ∨ y # w)))
21	12, 20	bitrd 177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (x # z ∨ y # w)))
22		simprl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → u ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → u ∈ ℝ)
24	23	ad3antrrr 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → u ∈ ℝ)
25		reapcotr 7185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ) → (x # z → (x # u ∨ z # u)))
26	13, 16, 24, 25	syl3anc 1116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (x # z → (x # u ∨ z # u)))
27		simprr 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → v ∈ ℝ)
28	27	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → v ∈ ℝ)
29	28	ad3antrrr 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → v ∈ ℝ)
30		reapcotr 7185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ) → (y # w → (y # v ∨ w # v)))
31	14, 18, 29, 30	syl3anc 1116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (y # w → (y # v ∨ w # v)))
32	26, 31	orim12d 684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((x # z ∨ y # w) → ((x # u ∨ z # u) ∨ (y # v ∨ w # v))))
33	21, 32	sylbid 139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B → ((x # u ∨ z # u) ∨ (y # v ∨ w # v))))
34		or4 672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x # u ∨ z # u) ∨ (y # v ∨ w # v)) ↔ ((x # u ∨ y # v) ∨ (z # u ∨ w # v)))
35	33, 34	syl6ib 150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B → ((x # u ∨ y # v) ∨ (z # u ∨ w # v))))
36		simplr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → 𝐶 = (u + (i · v)))
37	36	ad3antrrr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → 𝐶 = (u + (i · v)))
38	10, 37	breq12d 3740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # 𝐶 ↔ (x + (i · y)) # (u + (i · v))))
39		apreim 7190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → ((x + (i · y)) # (u + (i · v)) ↔ (x # u ∨ y # v)))
40	13, 14, 24, 29, 39	syl22anc 1117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (u + (i · v)) ↔ (x # u ∨ y # v)))
41	38, 40	bitrd 177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # 𝐶 ↔ (x # u ∨ y # v)))
42	11, 37	breq12d 3740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (B # 𝐶 ↔ (z + (i · w)) # (u + (i · v))))
43		apreim 7190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → ((z + (i · w)) # (u + (i · v)) ↔ (z # u ∨ w # v)))
44	16, 18, 24, 29, 43	syl22anc 1117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((z + (i · w)) # (u + (i · v)) ↔ (z # u ∨ w # v)))
45	42, 44	bitrd 177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (B # 𝐶 ↔ (z # u ∨ w # v)))
46	41, 45	orbi12d 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((A # 𝐶 ∨ B # 𝐶) ↔ ((x # u ∨ y # v) ∨ (z # u ∨ w # v))))
47	35, 46	sylibrd 158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶)))
48	47	ex 108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) → (A = (x + (i · y)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
49	48	rexlimdvva 2409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) → (∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
50	9, 49	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶)))
51	50	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → (B = (z + (i · w)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
52	51	rexlimdvva 2409	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) → (∃z ∈ ℝ ∃w ∈ ℝ B = (z + (i · w)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
53	5, 52	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (u + (i · v))) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶)))
54	53	ex 108	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (u ∈ ℝ ∧ v ∈ ℝ)) → (𝐶 = (u + (i · v)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
55	54	rexlimdvva 2409	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃u ∈ ℝ ∃v ∈ ℝ 𝐶 = (u + (i · v)) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶))))
56	2, 55	mpd 13	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (A # B → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 613   ∧ w3a 867   = wceq 1223   ∈ wcel 1366  ∃wrex 2276   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  ℂcc 6518  ℝcr 6519  ici 6522   + caddc 6523   · cmul 6525   # cap 7168

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226  ax-cnex 6578  ax-resscn 6579  ax-1cn 6580  ax-1re 6581  ax-icn 6582  ax-addcl 6583  ax-addrcl 6584  ax-mulcl 6585  ax-mulrcl 6586  ax-addcom 6587  ax-mulcom 6588  ax-addass 6589  ax-mulass 6590  ax-distr 6591  ax-i2m1 6592  ax-1rid 6594  ax-0id 6595  ax-rnegex 6596  ax-precex 6597  ax-cnre 6598  ax-pre-ltirr 6599  ax-pre-ltwlin 6600  ax-pre-lttrn 6601  ax-pre-apti 6602  ax-pre-ltadd 6603  ax-pre-mulgt0 6604

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-nel 2180  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-riota 5381  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-i1p 6307  df-iplp 6308  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-ltr 6468  df-0r 6469  df-1r 6470  df-0 6527  df-1 6528  df-r 6530  df-lt 6533  df-pnf 6662  df-mnf 6663  df-ltxr 6665  df-sub 6784  df-neg 6785  df-reap 7162  df-ap 7169

This theorem is referenced by:  addext  7197  mulext  7201