Theorem 0cn 6817

Description: 0 is a complex number. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
0cn	⊢ 0 ∈ ℂ

Proof of Theorem 0cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-i2m1 6788	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
2		ax-icn 6778	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
3		mulcl 6806	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (i · i) ∈ ℂ)
4	2, 2, 3	mp2an 402	. . 3 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
5		ax-1cn 6776	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addcl 6804	. . 3 ⊢ (((i · i) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · i) + 1) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 402	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) ∈ ℂ
8	1, 7	eqeltrri 2108	1 ⊢ 0 ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712  ici 6713   + caddc 6714   · cmul 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1333  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-ial 1424  ax-ext 2019  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-mulcl 6781  ax-i2m1 6788

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-cleq 2030  df-clel 2033

This theorem is referenced by:  0cnd  6818  c0ex  6819  addid2  6949  00id  6951  cnegexlem2  6984  negcl  7008  subid  7026  subid1  7027  neg0  7053  negid  7054  negsub  7055  subneg  7056  negneg  7057  negeq0  7061  negsubdi  7063  renegcl  7068  mul02  7180  mul01  7182  mulneg1  7188  ixi  7367  negap0  7412  muleqadd  7431  divvalap  7435  div0ap  7461  recgt0  7597  0m0e0  7807  2muline0  7927  elznn0  8036  0exp0e1  8914  expeq0  8940  0exp  8944  sq0  8997  cjap0  9135  cjne0  9136  abs0  9222