ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnge1 GIF version

Theorem nnge1 7935
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3768 . 2 (𝑥 = 1 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 1))
2 breq2 3768 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝑦))
3 breq2 3768 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑦 + 1)))
4 breq2 3768 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝐴))
5 1le1 7561 . 2 1 ≤ 1
6 nnre 7919 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
7 recn 7012 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
87addid1d 7160 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
98breq2d 3776 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ 1 ≤ 𝑦))
10 0lt1 7139 . . . . . . . 8 0 < 1
11 0re 7025 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
12 1re 7024 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
13 axltadd 7087 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
1411, 12, 13mp3an12 1222 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
1510, 14mpi 15 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1))
16 readdcl 7005 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
1711, 16mpan2 401 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
18 peano2re 7147 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19 lttr 7090 . . . . . . . . 9 (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2012, 19mp3an3 1221 . . . . . . . 8 (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2117, 18, 20syl2anc 391 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2215, 21mpand 405 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) < 1 → (𝑦 + 0) < 1))
2322con3d 561 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (¬ (𝑦 + 0) < 1 → ¬ (𝑦 + 1) < 1))
24 lenlt 7092 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 0) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
2512, 17, 24sylancr 393 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
26 lenlt 7092 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
2712, 18, 26sylancr 393 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
2823, 25, 273imtr4d 192 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
299, 28sylbird 159 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
306, 29syl 14 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 7928 1 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  cr 6886  0cc0 6887  1c1 6888   + caddc 6890   < clt 7058  cle 7059  cn 7912
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1re 6976  ax-addrcl 6979  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-ltadd 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-inn 7913
This theorem is referenced by:  nnle1eq1  7936  nngt0  7937  nnnlt1  7938  nnrecgt0  7949  nnge1d  7954  elnnnn0c  8225  elnnz1  8266  zltp1le  8296  elfz1b  8950  fzo1fzo0n0  9037  elfzom1elp1fzo  9056  fzo0sn0fzo1  9075  nnlesq  9330
  Copyright terms: Public domain W3C validator