Theorem nnge1 7669

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnge1	⊢ (A ∈ ℕ → 1 ≤ A)

Proof of Theorem nnge1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3758	. 2 ⊢ (x = 1 → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ 1))
2		breq2 3758	. 2 ⊢ (x = y → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ y))
3		breq2 3758	. 2 ⊢ (x = (y + 1) → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ (y + 1)))
4		breq2 3758	. 2 ⊢ (x = A → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ A))
5		1le1 7308	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
6		nnre 7653	. . 3 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℝ)
7		recn 6764	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℝ → y ∈ ℂ)
8	7	addid1d 6911	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℝ → (y + 0) = y)
9	8	breq2d 3766	. . . 4 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ≤ (y + 0) ↔ 1 ≤ y))
10		0lt1 6890	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
11		0re 6777	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 6776	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		axltadd 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (0 < 1 → (y + 0) < (y + 1)))
14	11, 12, 13	mp3an12 1221	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → (0 < 1 → (y + 0) < (y + 1)))
15	10, 14	mpi 15	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℝ → (y + 0) < (y + 1))
16		readdcl 6757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (y + 0) ∈ ℝ)
17	11, 16	mpan2 401	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → (y + 0) ∈ ℝ)
18		peano2re 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → (y + 1) ∈ ℝ)
19		lttr 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y + 0) ∈ ℝ ∧ (y + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((y + 0) < (y + 1) ∧ (y + 1) < 1) → (y + 0) < 1))
20	12, 19	mp3an3 1220	. . . . . . . 8 ⊢ (((y + 0) ∈ ℝ ∧ (y + 1) ∈ ℝ) → (((y + 0) < (y + 1) ∧ (y + 1) < 1) → (y + 0) < 1))
21	17, 18, 20	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℝ → (((y + 0) < (y + 1) ∧ (y + 1) < 1) → (y + 0) < 1))
22	15, 21	mpand 405	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℝ → ((y + 1) < 1 → (y + 0) < 1))
23	22	con3d 560	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℝ → (¬ (y + 0) < 1 → ¬ (y + 1) < 1))
24		lenlt 6843	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (y + 0) ∈ ℝ) → (1 ≤ (y + 0) ↔ ¬ (y + 0) < 1))
25	12, 17, 24	sylancr 393	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ≤ (y + 0) ↔ ¬ (y + 0) < 1))
26		lenlt 6843	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (y + 1) ∈ ℝ) → (1 ≤ (y + 1) ↔ ¬ (y + 1) < 1))
27	12, 18, 26	sylancr 393	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ≤ (y + 1) ↔ ¬ (y + 1) < 1))
28	23, 25, 27	3imtr4d 192	. . . 4 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ≤ (y + 0) → 1 ≤ (y + 1)))
29	9, 28	sylbird 159	. . 3 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ≤ y → 1 ≤ (y + 1)))
30	6, 29	syl 14	. 2 ⊢ (y ∈ ℕ → (1 ≤ y → 1 ≤ (y + 1)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 30	nnind 7662	1 ⊢ (A ∈ ℕ → 1 ≤ A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  ℝcr 6662  0cc0 6663  1c1 6664   + caddc 6666   < clt 6809   ≤ cle 6810  ℕcn 7646

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1re 6729  ax-addrcl 6732  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-ltadd 6751

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-ltxr 6814  df-le 6815  df-inn 7647

This theorem is referenced by:  nnle1eq1  7670  nngt0  7671  nnnlt1  7672  nnrecgt0  7683  nnge1d  7688  elnnnn0c  7953  elnnz1  7994  zltp1le  8024  elfz1b  8668  fzo1fzo0n0  8755  elfzom1elp1fzo  8774  fzo0sn0fzo1  8793