Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnge1 GIF version

Theorem nnge1 7718
 Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1 (A ℕ → 1 ≤ A)

Proof of Theorem nnge1
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3759 . 2 (x = 1 → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ 1))
2 breq2 3759 . 2 (x = y → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ y))
3 breq2 3759 . 2 (x = (y + 1) → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ (y + 1)))
4 breq2 3759 . 2 (x = A → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ A))
5 1le1 7356 . 2 1 ≤ 1
6 nnre 7702 . . 3 (y ℕ → y ℝ)
7 recn 6812 . . . . . 6 (y ℝ → y ℂ)
87addid1d 6959 . . . . 5 (y ℝ → (y + 0) = y)
98breq2d 3767 . . . 4 (y ℝ → (1 ≤ (y + 0) ↔ 1 ≤ y))
10 0lt1 6938 . . . . . . . 8 0 < 1
11 0re 6825 . . . . . . . . 9 0
12 1re 6824 . . . . . . . . 9 1
13 axltadd 6886 . . . . . . . . 9 ((0 1 y ℝ) → (0 < 1 → (y + 0) < (y + 1)))
1411, 12, 13mp3an12 1221 . . . . . . . 8 (y ℝ → (0 < 1 → (y + 0) < (y + 1)))
1510, 14mpi 15 . . . . . . 7 (y ℝ → (y + 0) < (y + 1))
16 readdcl 6805 . . . . . . . . 9 ((y 0 ℝ) → (y + 0) ℝ)
1711, 16mpan2 401 . . . . . . . 8 (y ℝ → (y + 0) ℝ)
18 peano2re 6946 . . . . . . . 8 (y ℝ → (y + 1) ℝ)
19 lttr 6889 . . . . . . . . 9 (((y + 0) (y + 1) 1 ℝ) → (((y + 0) < (y + 1) (y + 1) < 1) → (y + 0) < 1))
2012, 19mp3an3 1220 . . . . . . . 8 (((y + 0) (y + 1) ℝ) → (((y + 0) < (y + 1) (y + 1) < 1) → (y + 0) < 1))
2117, 18, 20syl2anc 391 . . . . . . 7 (y ℝ → (((y + 0) < (y + 1) (y + 1) < 1) → (y + 0) < 1))
2215, 21mpand 405 . . . . . 6 (y ℝ → ((y + 1) < 1 → (y + 0) < 1))
2322con3d 560 . . . . 5 (y ℝ → (¬ (y + 0) < 1 → ¬ (y + 1) < 1))
24 lenlt 6891 . . . . . 6 ((1 (y + 0) ℝ) → (1 ≤ (y + 0) ↔ ¬ (y + 0) < 1))
2512, 17, 24sylancr 393 . . . . 5 (y ℝ → (1 ≤ (y + 0) ↔ ¬ (y + 0) < 1))
26 lenlt 6891 . . . . . 6 ((1 (y + 1) ℝ) → (1 ≤ (y + 1) ↔ ¬ (y + 1) < 1))
2712, 18, 26sylancr 393 . . . . 5 (y ℝ → (1 ≤ (y + 1) ↔ ¬ (y + 1) < 1))
2823, 25, 273imtr4d 192 . . . 4 (y ℝ → (1 ≤ (y + 0) → 1 ≤ (y + 1)))
299, 28sylbird 159 . . 3 (y ℝ → (1 ≤ y → 1 ≤ (y + 1)))
306, 29syl 14 . 2 (y ℕ → (1 ≤ y → 1 ≤ (y + 1)))
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 7711 1 (A ℕ → 1 ≤ A)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857   ≤ cle 6858  ℕcn 7695 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1re 6777  ax-addrcl 6780  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-inn 7696 This theorem is referenced by:  nnle1eq1  7719  nngt0  7720  nnnlt1  7721  nnrecgt0  7732  nnge1d  7737  elnnnn0c  8003  elnnz1  8044  zltp1le  8074  elfz1b  8722  fzo1fzo0n0  8809  elfzom1elp1fzo  8828  fzo0sn0fzo1  8847  nnlesq  9009
 Copyright terms: Public domain W3C validator