ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnbnd GIF version

Theorem expnbnd 9118
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
expnbnd ((A B 1 < B) → 𝑘 A < (B𝑘))
Distinct variable groups:   A,𝑘   B,𝑘

Proof of Theorem expnbnd
StepHypRef Expression
1 simp1 904 . . . 4 ((A B 1 < B) → A ℝ)
21adantr 261 . . 3 (((A B 1 < B) 1 < A) → A ℝ)
3 simp2 905 . . . 4 ((A B 1 < B) → B ℝ)
43adantr 261 . . 3 (((A B 1 < B) 1 < A) → B ℝ)
5 simpr 103 . . 3 (((A B 1 < B) 1 < A) → 1 < A)
6 simp3 906 . . . 4 ((A B 1 < B) → 1 < B)
76adantr 261 . . 3 (((A B 1 < B) 1 < A) → 1 < B)
8 1red 6932 . . . . . . . . 9 ((A B 1 < B) → 1 ℝ)
91, 8resubcld 7267 . . . . . . . 8 ((A B 1 < B) → (A − 1) ℝ)
103, 8resubcld 7267 . . . . . . . 8 ((A B 1 < B) → (B − 1) ℝ)
118, 3posdifd 7410 . . . . . . . . . 10 ((A B 1 < B) → (1 < B ↔ 0 < (B − 1)))
126, 11mpbid 135 . . . . . . . . 9 ((A B 1 < B) → 0 < (B − 1))
1310, 12gt0ap0d 7503 . . . . . . . 8 ((A B 1 < B) → (B − 1) # 0)
149, 10, 13redivclapd 7681 . . . . . . 7 ((A B 1 < B) → ((A − 1) / (B − 1)) ℝ)
15 arch 8046 . . . . . . 7 (((A − 1) / (B − 1)) ℝ → 𝑘 ℕ ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘)
1614, 15syl 14 . . . . . 6 ((A B 1 < B) → 𝑘 ℕ ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘)
17163expa 1104 . . . . 5 (((A B ℝ) 1 < B) → 𝑘 ℕ ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘)
1817adantrl 447 . . . 4 (((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) → 𝑘 ℕ ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘)
19 simplll 485 . . . . . . . 8 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → A ℝ)
2019adantr 261 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → A ℝ)
21 simpllr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → B ℝ)
22 1red 6932 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 1 ℝ)
2321, 22resubcld 7267 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → (B − 1) ℝ)
24 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 𝑘 ℕ)
2524nnred 7800 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 𝑘 ℝ)
2623, 25remulcld 6945 . . . . . . . . 9 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → ((B − 1) · 𝑘) ℝ)
2726, 22readdcld 6944 . . . . . . . 8 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → (((B − 1) · 𝑘) + 1) ℝ)
2827adantr 261 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (((B − 1) · 𝑘) + 1) ℝ)
2924nnnn0d 8103 . . . . . . . . 9 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 𝑘 0)
30 reexpcl 9019 . . . . . . . . 9 ((B 𝑘 0) → (B𝑘) ℝ)
3121, 29, 30syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → (B𝑘) ℝ)
3231adantr 261 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (B𝑘) ℝ)
33 simpr 103 . . . . . . . . 9 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘)
34 1red 6932 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 1 ℝ)
3520, 34resubcld 7267 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (A − 1) ℝ)
36 simplr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ℕ)
3736nnred 7800 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ℝ)
3821adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → B ℝ)
3938, 34resubcld 7267 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (B − 1) ℝ)
40 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 1 < B)
4140adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 1 < B)
4234, 38posdifd 7410 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (1 < B ↔ 0 < (B − 1)))
4341, 42mpbid 135 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 0 < (B − 1))
44 ltdivmul 7715 . . . . . . . . . 10 (((A − 1) 𝑘 ((B − 1) 0 < (B − 1))) → (((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘 ↔ (A − 1) < ((B − 1) · 𝑘)))
4535, 37, 39, 43, 44syl112anc 1139 . . . . . . . . 9 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘 ↔ (A − 1) < ((B − 1) · 𝑘)))
4633, 45mpbid 135 . . . . . . . 8 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (A − 1) < ((B − 1) · 𝑘))
4739, 37remulcld 6945 . . . . . . . . 9 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → ((B − 1) · 𝑘) ℝ)
4820, 34, 47ltsubaddd 7419 . . . . . . . 8 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → ((A − 1) < ((B − 1) · 𝑘) ↔ A < (((B − 1) · 𝑘) + 1)))
4946, 48mpbid 135 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → A < (((B − 1) · 𝑘) + 1))
5036nnnn0d 8103 . . . . . . . 8 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 𝑘 0)
51 0red 6918 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 0 ℝ)
52 0lt1 7030 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
53 0re 6917 . . . . . . . . . . . . 13 0
54 1re 6916 . . . . . . . . . . . . 13 1
55 lttr 6981 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 1 B ℝ) → ((0 < 1 1 < B) → 0 < B))
5653, 54, 55mp3an12 1222 . . . . . . . . . . . 12 (B ℝ → ((0 < 1 1 < B) → 0 < B))
5752, 56mpani 406 . . . . . . . . . . 11 (B ℝ → (1 < B → 0 < B))
5821, 40, 57sylc 56 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 0 < B)
5951, 21, 58ltled 7024 . . . . . . . . 9 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 0 ≤ B)
6059adantr 261 . . . . . . . 8 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 0 ≤ B)
61 bernneq2 9116 . . . . . . . 8 ((B 𝑘 0 0 ≤ B) → (((B − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (B𝑘))
6238, 50, 60, 61syl3anc 1135 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (((B − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (B𝑘))
6320, 28, 32, 49, 62ltletrd 7308 . . . . . 6 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → A < (B𝑘))
6463ex 108 . . . . 5 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → (((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘A < (B𝑘)))
6564reximdva 2418 . . . 4 (((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) → (𝑘 ℕ ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘𝑘 A < (B𝑘)))
6618, 65mpd 13 . . 3 (((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) → 𝑘 A < (B𝑘))
672, 4, 5, 7, 66syl22anc 1136 . 2 (((A B 1 < B) 1 < A) → 𝑘 A < (B𝑘))
68 1nn 7798 . . 3 1
69 simpr 103 . . . 4 (((A B 1 < B) A < B) → A < B)
70 simpl2 908 . . . . . 6 (((A B 1 < B) A < B) → B ℝ)
7170recnd 6943 . . . . 5 (((A B 1 < B) A < B) → B ℂ)
72 exp1 9008 . . . . 5 (B ℂ → (B↑1) = B)
7371, 72syl 14 . . . 4 (((A B 1 < B) A < B) → (B↑1) = B)
7469, 73breqtrrd 3784 . . 3 (((A B 1 < B) A < B) → A < (B↑1))
75 oveq2 5466 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (B𝑘) = (B↑1))
7675breq2d 3770 . . . 4 (𝑘 = 1 → (A < (B𝑘) ↔ A < (B↑1)))
7776rspcev 2653 . . 3 ((1 A < (B↑1)) → 𝑘 A < (B𝑘))
7868, 74, 77sylancr 393 . 2 (((A B 1 < B) A < B) → 𝑘 A < (B𝑘))
79 axltwlin 6976 . . . . 5 ((1 B A ℝ) → (1 < B → (1 < A A < B)))
8054, 79mp3an1 1219 . . . 4 ((B A ℝ) → (1 < B → (1 < A A < B)))
8180ancoms 255 . . 3 ((A B ℝ) → (1 < B → (1 < A A < B)))
82813impia 1101 . 2 ((A B 1 < B) → (1 < A A < B))
8367, 78, 82mpjaodan 711 1 ((A B 1 < B) → 𝑘 A < (B𝑘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 629   w3a 885   = wceq 1243   wcel 1393  wrex 2304   class class class wbr 3758  (class class class)co 5458  cc 6777  cr 6778  0cc0 6779  1c1 6780   + caddc 6782   · cmul 6784   < clt 6949  cle 6950  cmin 7071   / cdiv 7525  cn 7787  0cn0 8049  cexp 9001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3866  ax-sep 3869  ax-nul 3877  ax-pow 3921  ax-pr 3938  ax-un 4139  ax-setind 4223  ax-iinf 4257  ax-cnex 6865  ax-resscn 6866  ax-1cn 6867  ax-1re 6868  ax-icn 6869  ax-addcl 6870  ax-addrcl 6871  ax-mulcl 6872  ax-mulrcl 6873  ax-addcom 6874  ax-mulcom 6875  ax-addass 6876  ax-mulass 6877  ax-distr 6878  ax-i2m1 6879  ax-1rid 6881  ax-0id 6882  ax-rnegex 6883  ax-precex 6884  ax-cnre 6885  ax-pre-ltirr 6886  ax-pre-ltwlin 6887  ax-pre-lttrn 6888  ax-pre-apti 6889  ax-pre-ltadd 6890  ax-pre-mulgt0 6891  ax-pre-mulext 6892  ax-arch 6893
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-if 3329  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-int 3610  df-iun 3653  df-br 3759  df-opab 3813  df-mpt 3814  df-tr 3849  df-eprel 4020  df-id 4024  df-po 4027  df-iso 4028  df-iord 4072  df-on 4074  df-suc 4077  df-iom 4260  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-rn 4302  df-res 4303  df-ima 4304  df-iota 4813  df-fun 4850  df-fn 4851  df-f 4852  df-f1 4853  df-fo 4854  df-f1o 4855  df-fv 4856  df-riota 5414  df-ov 5461  df-oprab 5462  df-mpt2 5463  df-1st 5712  df-2nd 5713  df-recs 5865  df-irdg 5901  df-frec 5922  df-1o 5944  df-2o 5945  df-oadd 5948  df-omul 5949  df-er 6046  df-ec 6048  df-qs 6052  df-ni 6292  df-pli 6293  df-mi 6294  df-lti 6295  df-plpq 6332  df-mpq 6333  df-enq 6335  df-nqqs 6336  df-plqqs 6337  df-mqqs 6338  df-1nqqs 6339  df-rq 6340  df-ltnqqs 6341  df-enq0 6412  df-nq0 6413  df-0nq0 6414  df-plq0 6415  df-mq0 6416  df-inp 6454  df-i1p 6455  df-iplp 6456  df-iltp 6458  df-enr 6701  df-nr 6702  df-ltr 6705  df-0r 6706  df-1r 6707  df-0 6786  df-1 6787  df-r 6789  df-lt 6792  df-pnf 6951  df-mnf 6952  df-xr 6953  df-ltxr 6954  df-le 6955  df-sub 7073  df-neg 7074  df-reap 7451  df-ap 7458  df-div 7526  df-inn 7788  df-n0 8050  df-z 8114  df-uz 8342  df-iseq 8985  df-iexp 9002
This theorem is referenced by:  expnlbnd  9119
  Copyright terms: Public domain W3C validator