ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnbnd Structured version   GIF version

Theorem expnbnd 8985
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
expnbnd ((A B 1 < B) → 𝑘 A < (B𝑘))
Distinct variable groups:   A,𝑘   B,𝑘

Proof of Theorem expnbnd
StepHypRef Expression
1 simp1 903 . . . 4 ((A B 1 < B) → A ℝ)
21adantr 261 . . 3 (((A B 1 < B) 1 < A) → A ℝ)
3 simp2 904 . . . 4 ((A B 1 < B) → B ℝ)
43adantr 261 . . 3 (((A B 1 < B) 1 < A) → B ℝ)
5 simpr 103 . . 3 (((A B 1 < B) 1 < A) → 1 < A)
6 simp3 905 . . . 4 ((A B 1 < B) → 1 < B)
76adantr 261 . . 3 (((A B 1 < B) 1 < A) → 1 < B)
8 1red 6800 . . . . . . . . 9 ((A B 1 < B) → 1 ℝ)
91, 8resubcld 7135 . . . . . . . 8 ((A B 1 < B) → (A − 1) ℝ)
103, 8resubcld 7135 . . . . . . . 8 ((A B 1 < B) → (B − 1) ℝ)
118, 3posdifd 7278 . . . . . . . . . 10 ((A B 1 < B) → (1 < B ↔ 0 < (B − 1)))
126, 11mpbid 135 . . . . . . . . 9 ((A B 1 < B) → 0 < (B − 1))
1310, 12gt0ap0d 7371 . . . . . . . 8 ((A B 1 < B) → (B − 1) # 0)
149, 10, 13redivclapd 7549 . . . . . . 7 ((A B 1 < B) → ((A − 1) / (B − 1)) ℝ)
15 arch 7914 . . . . . . 7 (((A − 1) / (B − 1)) ℝ → 𝑘 ℕ ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘)
1614, 15syl 14 . . . . . 6 ((A B 1 < B) → 𝑘 ℕ ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘)
17163expa 1103 . . . . 5 (((A B ℝ) 1 < B) → 𝑘 ℕ ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘)
1817adantrl 447 . . . 4 (((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) → 𝑘 ℕ ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘)
19 simplll 485 . . . . . . . 8 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → A ℝ)
2019adantr 261 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → A ℝ)
21 simpllr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → B ℝ)
22 1red 6800 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 1 ℝ)
2321, 22resubcld 7135 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → (B − 1) ℝ)
24 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 𝑘 ℕ)
2524nnred 7668 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 𝑘 ℝ)
2623, 25remulcld 6813 . . . . . . . . 9 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → ((B − 1) · 𝑘) ℝ)
2726, 22readdcld 6812 . . . . . . . 8 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → (((B − 1) · 𝑘) + 1) ℝ)
2827adantr 261 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (((B − 1) · 𝑘) + 1) ℝ)
2924nnnn0d 7971 . . . . . . . . 9 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 𝑘 0)
30 reexpcl 8886 . . . . . . . . 9 ((B 𝑘 0) → (B𝑘) ℝ)
3121, 29, 30syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → (B𝑘) ℝ)
3231adantr 261 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (B𝑘) ℝ)
33 simpr 103 . . . . . . . . 9 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘)
34 1red 6800 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 1 ℝ)
3520, 34resubcld 7135 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (A − 1) ℝ)
36 simplr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ℕ)
3736nnred 7668 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ℝ)
3821adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → B ℝ)
3938, 34resubcld 7135 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (B − 1) ℝ)
40 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 1 < B)
4140adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 1 < B)
4234, 38posdifd 7278 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (1 < B ↔ 0 < (B − 1)))
4341, 42mpbid 135 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 0 < (B − 1))
44 ltdivmul 7583 . . . . . . . . . 10 (((A − 1) 𝑘 ((B − 1) 0 < (B − 1))) → (((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘 ↔ (A − 1) < ((B − 1) · 𝑘)))
4535, 37, 39, 43, 44syl112anc 1138 . . . . . . . . 9 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘 ↔ (A − 1) < ((B − 1) · 𝑘)))
4633, 45mpbid 135 . . . . . . . 8 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (A − 1) < ((B − 1) · 𝑘))
4739, 37remulcld 6813 . . . . . . . . 9 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → ((B − 1) · 𝑘) ℝ)
4820, 34, 47ltsubaddd 7287 . . . . . . . 8 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → ((A − 1) < ((B − 1) · 𝑘) ↔ A < (((B − 1) · 𝑘) + 1)))
4946, 48mpbid 135 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → A < (((B − 1) · 𝑘) + 1))
5036nnnn0d 7971 . . . . . . . 8 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 𝑘 0)
51 0red 6786 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 0 ℝ)
52 0lt1 6898 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
53 0re 6785 . . . . . . . . . . . . 13 0
54 1re 6784 . . . . . . . . . . . . 13 1
55 lttr 6849 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 1 B ℝ) → ((0 < 1 1 < B) → 0 < B))
5653, 54, 55mp3an12 1221 . . . . . . . . . . . 12 (B ℝ → ((0 < 1 1 < B) → 0 < B))
5752, 56mpani 406 . . . . . . . . . . 11 (B ℝ → (1 < B → 0 < B))
5821, 40, 57sylc 56 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 0 < B)
5951, 21, 58ltled 6892 . . . . . . . . 9 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → 0 ≤ B)
6059adantr 261 . . . . . . . 8 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → 0 ≤ B)
61 bernneq2 8983 . . . . . . . 8 ((B 𝑘 0 0 ≤ B) → (((B − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (B𝑘))
6238, 50, 60, 61syl3anc 1134 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → (((B − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (B𝑘))
6320, 28, 32, 49, 62ltletrd 7176 . . . . . 6 (((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘) → A < (B𝑘))
6463ex 108 . . . . 5 ((((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) 𝑘 ℕ) → (((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘A < (B𝑘)))
6564reximdva 2415 . . . 4 (((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) → (𝑘 ℕ ((A − 1) / (B − 1)) < 𝑘𝑘 A < (B𝑘)))
6618, 65mpd 13 . . 3 (((A B ℝ) (1 < A 1 < B)) → 𝑘 A < (B𝑘))
672, 4, 5, 7, 66syl22anc 1135 . 2 (((A B 1 < B) 1 < A) → 𝑘 A < (B𝑘))
68 1nn 7666 . . 3 1
69 simpr 103 . . . 4 (((A B 1 < B) A < B) → A < B)
70 simpl2 907 . . . . . 6 (((A B 1 < B) A < B) → B ℝ)
7170recnd 6811 . . . . 5 (((A B 1 < B) A < B) → B ℂ)
72 exp1 8875 . . . . 5 (B ℂ → (B↑1) = B)
7371, 72syl 14 . . . 4 (((A B 1 < B) A < B) → (B↑1) = B)
7469, 73breqtrrd 3781 . . 3 (((A B 1 < B) A < B) → A < (B↑1))
75 oveq2 5463 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (B𝑘) = (B↑1))
7675breq2d 3767 . . . 4 (𝑘 = 1 → (A < (B𝑘) ↔ A < (B↑1)))
7776rspcev 2650 . . 3 ((1 A < (B↑1)) → 𝑘 A < (B𝑘))
7868, 74, 77sylancr 393 . 2 (((A B 1 < B) A < B) → 𝑘 A < (B𝑘))
79 axltwlin 6844 . . . . 5 ((1 B A ℝ) → (1 < B → (1 < A A < B)))
8054, 79mp3an1 1218 . . . 4 ((B A ℝ) → (1 < B → (1 < A A < B)))
8180ancoms 255 . . 3 ((A B ℝ) → (1 < B → (1 < A A < B)))
82813impia 1100 . 2 ((A B 1 < B) → (1 < A A < B))
8367, 78, 82mpjaodan 710 1 ((A B 1 < B) → 𝑘 A < (B𝑘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   + caddc 6674   · cmul 6676   < clt 6817  cle 6818  cmin 6939   / cdiv 7393  cn 7655  0cn0 7917  cexp 8868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761  ax-arch 6762
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-iseq 8853  df-iexp 8869
This theorem is referenced by:  expnlbnd  8986
  Copyright terms: Public domain W3C validator